MD

mensura Curvaturæ atque Curvatura integra co sensu , quo hæ expressiones à nobis accipiuntur ; porro hue pertinet doctrina de lineis brevissimis , pleraque alia , de quibus in posterum agere nobis reservamus. In hoc considerationis modo superficies plana atque superficies inplanum explicabilis , e. g. cylindrica, conica, etC. tamquam essentialiter identicæ spectantur, modusque genuinus indolem superficiei ita consideratæ generaliter exprimendi semper innititur formulæ V Edp? + 2 Fdp . dg + Gdg*, quæ nexum elementi cum duabus indeterminatis p, g sistit. Sed antequam hoc argumentum ulterius prosequamur, principia theoriæ linearum brevissimarum in superficie curva

data præmittere oportet.

Indoles lineæ curvæ in spatio generaliter ita datur, ut coordinatæ x, y, z singulis illius punctis respondentes exhibeantur in forma functionum unius variabilis, quam per w denotabimus. Longitulo talis lineæ a puncto initiali arbitrario usque ad punctum, cujus coordinatæ sunt x, y, z, exprimitur per integrale

è dy =] ESCRORE)

Si supponimus, situm lineæ curvæ variationem infinite parvam pati, ita ut coordinatæ singulorum punctorum accipiant variationes dx, dy, dz, variatio

totius longitudinis invenitur

__ f'dx.dôx + dy. ddy + dz. ca Vax? + dy? + dz°

quam expressionem in hanc formam transmutamu s

rh a a IS RL D dx.ôx + dy.dy + dz.0z ei aù Vax'+ dy°+ dz° ) Vdx°+ dy °?+ dz° Vdx? + dy? + ds? d | del Re | Vax°+ dy + dz?

In casu eo, ubi linea est brevissima inter puncta sua extrema, constat , ea, quæ hic sub signo integrali sunt, evanescere debere. Quatenus linea esse debet

in superficie data, cujus indoles exprimitur per æquationem Pdx + Q dy + Rdz—o, etlam variationes dx, dy, dz satisfacere debent æquationi

Pdx + Q9y + R9dz =;

unde per principia nota facile colligitur differentialia %

Ce ce . -- ds Rt.

4e dx dy dz®

Te M Re Var? + dy? mir dx? + dy° + dz° Vdx® + dy? + dz°

resp. quantitatibus P, Q , R proportionalia esse debere. Jam sit dr elementum

dose de. Da

lineæ curvæ, À punctum in superficie sphærica repræsentans directionem hujus

elementi, L punctum in superficie UDROe repræsentans directionem nornéiils in superficiem curvam ; denique sint £,n, coordinatæ puneti A1 ,atque X , Y,Z coordinatæ puncti Le respectu centri re Ita erit