RUE

k | i mn

dr dr’ do dr? do dr? dy : de dé dx dn sarl AE ‘ d(ÉE + nn HE) dr do dr do dr d : do

Sed EE + nn + É£ — 1, adeoque ipsius differentiale — o, et per articulum præcedentem habemus , si etiam hic p denotat radium curvaturæ in linea y.

dé X d' Y dé Z A :,

dre, Lp° CA RORT dr p

# Iltaobtinemus 2 ds I do do — =. (XE + VYr + Zé). — “COS AE = 0:

dr p ( Ë x : d } pr 6 de

quoniam manifesto À’ jacet in circulo maximo, cujus polus L. Hince itaque

- concludimus, S independentem esse ab r et proin functionem solius ©. At pro

: ; ue dh x r = 0, manifesto fit — 0, et proin etiam- — 0, nec non S — o independenter “4

a @. Necessario itaque generaliter esse debebit S — 0, adeoque cos À}'— 0, ïd . est, ÀX— 90°. Hinc colligimus :

Tusonema. Ductis in superficie curva ab eodem puncto initiali innumeris lineis brevissinus æqualis longitudinis, linea earum extremitates jungens ad

illas singulas erit normalis. l

Operæ pretium esse duximus, hoc theorema e proprietate fundamentali + linearum brevissimarum deducere : ceterum ejus veritas etiam absque calculo : per sequens ratiocinium intelligi potest. Sint AB, AB’ duæ lineæ brevissimæ 1 ejusdem longitudinis , angulum infinite parvum ad A includentes ; suppona- # musque alterutrum angulorum elementi BB’ cum lineis BA, B'A differre M quantitate finita ab angulo recto, unde per legem continuitatis alter major, alter É minor erit angulo recto. Supponamus angulum ad Besse — 90° — », capia- d musque in linea BA punctum C, ita ut sit BC — BB’. cosecw : hinc quum k triangulum ïnfinite parvum BB’C tamquam planum tractare liceat, erit C'B'’ — BC. cos w , et proïn k

AC + CB'= AC + BC. cosw — AB — BC .{(1— cosw) = AB'— BC(1— cosw),

id est, transitus a puncto À ad B'’per punctum C brevior linea brevissima.

OH

Theoremati articuli præcedentis associamus aliud, quod ita enunciamus : Si in superficie curva concipitur linea qualiscunque, a cujus punctis singulis proficiscantur sub angulis rectis et versus eandem plagam innumeræ lineæ brevissimæ æqualis longitudinis, curva, quæ earum extremitates alteras jungit, illas singulas sub angulis rectis secabit. Ad demonstrationem nihil in analysi præcedente mutandum est, nisi quod + designare debet longitudinem curvæ datæ inde a puncto arbitrario numeratam , aut si mavis fuuctionem hujus lon-

gitudinis ; ita omnia ratiocinia etiamnum valebunt , ea modificatione , quod

veritas æquationis $ — © pro r — 0 nunc jam in ipsa hypothesi implicatur. Ceterum hoc alterum theorema generalius est præcedente, quod adeo in 1llo comprehendi censeri potest, dum pro linea data adoptamus circulum infinite parvum circa centrum À descriptum. Denique monemus , hic quoque considerationes geometricas analyseos vice fungi posse, quibus tamen quum sats

obviæ sint hic non immoramur. 7

AE

XVTE,

Revertimur ad formulam ÿ Edp? + 2 Fdp . dq TETE dq?, quæ indefinite magnitudinem elementi linearis in superficie curva exprimit, atque ante

Fe

omnia significationem geometricam coefficientium E, F, G examinamus. Jam in art. V monuimus, in superficie curva concipi posse duo systemata linearum : alterum , in quibus singulis sola p sit variabilis, g constans; alterum , in quibus sola 4 variabilis, p constans. Quodlibet punctum superficiei considerari potest tamquam intersectio lineæ primi systematis cum linea secundi : tuncque . elementum lineæ primæ huic puncto adjacens et variationi dp respondens erit

€ — VE. dp, nec non elementum lineæ secundæ respondens variationi dg erit

Cu : : ë — VG.dg; denique denotando per © angulum inter hæc elementa, facile

perspicitur fieri cos ———+ Area autem elementi parallelogrammatici in

superficie curva inter duas lineas primi systematis, quibus respondent 4, q + dq, aique duas lineas systematis secundi, quibus respondent p, p + dp,

*erit VEG—FF dp. dg.

” Linea quæcunque in superficie curva ad neutrum illorum systematum pertinens, oritur, dum p et g concipiuntur esse functiones unius variabilis novæ, vel altera illarum functio alterius. Sit s longitudo talis curvæ ab initio arbitrario numerata et versus directionem utramvis pro positiva habita. Denotemus "per 9 ‘angulum, quem efhicit elementum ds = VE dp°? + 2 Fdp. dg + Gdq°

“ cum linea primi systematis per initium elementi ducta, et quidem ne ulla ambiguitas remaneat, hunc angulum semper ab eo ramo illius lineæ , in quo … valores ipsius p crescunt, inchoari , et versus eam plagam positive accipi supponemus, versus quam valores ipsius g crescunt. His ita intellectis facile perspicitur haberi

ue

E dp + F dq

cos6.ds—VE. dp + VG.cosw. Qi .

% , — EG — EF. d di SD0e ds —\G.Sinv.dg— Mes +

VE

Investigabimus nunc, quænam sit conditio, ut hæc linea sit brevissima. Quum ipsius longitudo s expressa sit per integrale

LS dk CT M Edp? + ° Fdp. dq + Gdg”,

pp minimi requirit, ut variatio hujus integralis a mutatione infinite parva tractus lineæ oriunda fiat — 0. Calculus ad propositum nostrum in hoc casu commodius absolvitur, si p tamquam functionem ipsius g consideramus.

L 4 dr # 67

if 3

LM . Ÿ en RAT Te + À s e ss + £ br 4 x D z + o t = : .#" " F | ” cf : . e | - : ” L 4 6 r 9 530 — » . . .

Quo pacto, si variatio per characteristicam 9 denotatur, habemus

RS | d é (a Énrre dp . ag + Sage) ap +R + a rain Ds ce ae 4 à 2 ds % “ eee + het ds " + dr NME —Edp+ras, 3, \ P 7 TE __ y. Édp+Fdg Pi ds P a er ds

constatque , quæ hic sunt sub signo integrali , independenter à 5povanescere debere. Fit itaque - d RARE:

. ” À RS dE 2 dG*,., + Edp+Fdg Ni re HR ap AE dg* = 2 ds:d ERA

+ % o'& — 2 ds. d.VEcos 9 our sd. de. a sing +