A: ‘# PL

Rep tale VER. d . d8 Eee ot Es ee. à q. à D, Ter. *

sn à + ., Foie “dé __ fEdp+Fdg\, [dE 5 M à = (itEEu) ee GA à) — a VEG FE FT gd. md

< » ne Pre Par À A

Hinc itaque nanciscimur æquationem conditionalen as linea pit

sequentem > » & : sx À R L A + VÉGERE do ee CPE FE Non *E dp EE TR dF . dG A de Le El Ven ‘ DPN TEE dp CRETE dp e L ce x quam etiam ita scribere licet È F dE AE Fi à 8 one 5 EE LAS ue VEC= TES dô—=;5: dE + : ; dp ER Ceterum adjumento æquationis ” lcicl pe à ÿ 4 : E + dpt Fu | . a +. ER.

" . É- z A L'£ st >

ex illa æquatione angulus 6] Long æquatio differentio- are tialis inter p et q evolvi potest, quæ tamen magis complicata, et ad applica tiones minus utilis evaderet ; quam præcedens: .

É Fr ag 2. M x, j 5 4 À * / : , LA E £ r » .

e 4 4 a k ‘ | LS fe ni “ed % DATI PE

Formulæ generales, quas pro mensura curvaturæ et pro variatione directionis Jlineæ brevissimæ in art. XI, XVIIT, eruimus, multo simpliciores fiunt, si … quantitates p, q ita sunt electæ, ut lineæ primi systematis lineas secundi

ystematis ubique orthogonaliter secent, id est, ut generaliter habeatur © — 90°, *sive F — o. Tune scilicet fit, pro mensura curvaturæ,

+ a ‘ d 2 2 | PPEGCR =. oE:46 (a) dE dG Ge)

dq &dq dp dp dp dq.

: FE (Te Fe ) D dq? dp° à pro variatione anguli 8, à ne . ; ES. KrYal .dŒ : 46 A4 VEG . d0 — Sn CP — Ép 6

ox :

” Inter varios casus, in quibus hæc conditio orthogonalitatis valet, primarium

“unde æquatio pro variatione anguli 8 modo tradita docet, fieri debere Tr = 0; j ! d

sive coefficientem E a g independentem, id est, E esse debet vel constans vel functio solius p. Simplicissimum erit, pro p adoptare longitudinem ipsam

fdàG\? ddG 4GGIZ (D) 26»

- | 40 D: GO ds F vel statuendo VG D | Lé Th 1 ddm Le dm 4% RS rS CE

Generaliter loquendo , m erit functio ipsarum p, q, atque mdq expressio ele-

PAIE MEs

menti cujusvis lineæ secundi systématis. In casu speciali autem, ubi omnes » lineæ p ab eodem puncto proficiscuntur, manifesto pro p — o esse debet m—0; porro si in hoc casu pro g adoptamus angulum ipsum, quem elementum pri- … mum cujusvis lineæ primi systematis facit cum elemento alicujus ex ipsis ad . arbitrium electæ, quum pro valore infinite parvo ipsius p, elementum lineæ secundi systematis (quæ considerari potest tamquam circulus radio p descriptus), sit — p dgq, erit pro valore infinite parvo ipsius p, m=—p, adeoque, dm

ro p — 0, simul m = o et ——1.

P / ? dp

ee |

Immoremur adhuc idem suppositioni, puta p designare indefinite longitu- L

dinem lineæ brevissimæ a puncto determinato À ad punctum quodlibet super-. ficiei ductum, atque g angulum, quem primum elementum hujus liner efficit cum A primo alicujus lineæ brevissimæ ex A proficiscentis datæ. Sit BA punctum determinatum in hac linea pro qua g = 0, atque C aliud punctum determinatum superficiei, pro quo valorem ipsius q simpliciter per À designabimus. Supponamus puncta B, C per lineam brevissimam juncta, cujus partes, inde a punecto B numeratas, indefinite ut in art. XVIII per s denotabimus,… nec non perinde ‘ut illic, per 9 angulum, quem quodvis elementum ds facit cum elemento dp : denique sint 9°, 9’ valores anguli @ in punctis B, C. Habemus itaque in superficie curva triangulum lineis brevissimis inclusum, ejusque anguli ad B et C, per has ipsas litteras simpliciter designandi æquales crunt ille complemento anguli 0° ad 180°, hic ipsi angulo 0’. Sed quum ana lysin nostram inspicienti facile pateat, omnes angulos non per gradus sed per numeros expressos concipi, ita ut angulus 57°17/45/, cui respondet arcus radio æqualis, pro unitate habeatur, statuere oportet, denotando per 27 peripheriam circuli

= re D, EMEA De

Inquiramus nunc in curvaturam integram hujus trianguli, quæ fit — kdo; denotante ds elementum superficiale trianguli ; quare quum hoc elementum exprimatur per mdp .dq, eruere oportet integrale ff km dp . dq supra totam trianguli superficiem. Incipiamus ab integratione secundum p, quæ propter

I .ddm ; —— suppeditat dq. Const — 27 be pro curvatura integra areæ

m ° dp 2

jacentis inter lineas primi systematis qüibus respondent valores indetermi-

natæ secundæ gq, g+ dq : quum hæc curvatura pfo p —.0 evanescere debeat,

quantitas conStans per integrationem introducta æqualis esse debet valori

dp accipere oportet valorem respondentem fini illius areæ in linea CB. In hac

Lo. d . Re: | : | l ipsius A prop—o, idest, unitati. Habemus itaque dq (: — me ubi pro

; . dm à lineawero fit per articulum præcedentem -—.dq = — «49, unde expressio

% dp nostra mutatur in dq + 40. Accedente jam integratione altera à g = 0 usque ad 7 — À extendenda, obtinemus curvaturam integram trianguli —A+8—D—A+B+C—7. ;

Curvatura integra æqualis est areæ ejus partis superficiei sphæricæ, quæ respondet triangulo, signo positivo vel negativo affectæ, prout superficies curva, in qua triangulum jacet, est concavo-concava vel concavo-convexa : pro unitate areæ accipiendum est quadratum, cujus latus est unitas (radius sphæræ), quo pacto superficies tota sphæræ fit — 4 tr. Est itaque pars superficiei sphæricæ triangulo respondens ad sphæræ superficie integramut +(A+B+C-—7) ad 4 tr. Hoc theorema, quod, ni fallimur, ad elegantissima in theoria superficierum curvarum referendum esse videtur, etiam sequenti modo enunciari potest :

Excessus summeæ angulorum trianguli a lineis brevissimis in superficie curva concavo-concava formati ultra, 180°, vel defectus summæ angulorum trianguli a lineis brevissimis in superficie curva concavo-convexa formati a 180°, mensuratur per aream partis superficiei sphæricæ, quæ ll triangulo per directiones normalium respondet, si superficies integra 720 gradibus æquiparatur.

Generalius in quovis polygono 7 laterum, quæ singula formantur per lineas brevissimas , excessus summæ angulorum supra 2 2 — 4 rectos, vel defectus a 2 n — 4 rectis (pro indole curvaturæ superficiei), æquatur areæ polygoni respondentis in superficie sphærica , dum tota superficies sphæræ 720 gradibus æquiparatur, uti per discerptionem polygoni in triangula e theoremate præcédente sponte demanat. SAC

DOCS

Restituamus characteribus p, g, E, F, G, w significationes generales, quibus supra accepti fuerant, supponamusque indolem superficiei curvæ præterea alio simili modo per duas alias variabiles p', g' determinari, ubi ele-

mentum lineare indefinitum exprimatur per

VEdp® + » F'dp!. dg! + G'dg”.

Ita euivis puncto superficiei per valôres determinatos variabilium p, q definito

17 Los Ê sr 4 W&r: »" & ie # 7 ” y LR dE. : : , #” &

ctiones ipsarum p, g; e quarum diffcrentiationc prodire STPPOTEQS

“p + dp, g + dq, p'+ dp', g'+ dg', levi attentione adhibita cognoscemus,

insuper N—M'—%. Ita æquatio modo inventa exhiberi potest in forma

4 Res , -