L : : ; ds
de? + sin? o dé? — — di Ex
dont nous nous sommes occupés ci-dessus. On aura ainsi
dÀ=sin(s) 5. sin À do — cosg(s)
re . - # 9 (s) désignant une fonction arbitraire des. Ces formules conduiront aux valeurs deket 5, et, par suite, de cos}, cos, cos v, exprimées en s. Pour avoir x, y; Z, On se servira ensuite des équations identiques
=. cos À dx + cos p dy + cos v dz — 0,"
La
… dcosÀ dx + d'cosu dy + dcosv dz — 0, ; qui combinées avec la formule
dx° + dy? + dz? — ds,
donnéront les valeurs de dx, dy, dz sous la forme f(s) ds. M; ,
. 6. En développant les valeurs de (dcos À)°, (dcosu}”, (d cos v}”, ‘on trouve sans peine
LB ee” | ds (L?+ M? + N°) Dr a 9) D. VCL2Æ ME N°) (4L: + dM° + 4N°) — (LaL + MaM + NaN} ».
Ru DM 4 à Mais on a AA AL = dy d°z— ds d'y, dM— dzd°x— dxd$z, dN— dxd'y— dyd'x. 2. dé het ‘+
De plus, il est aisé de s’assurer que les trois rapports.
| jA 4 Ta.
LdM—MadL NdL—LdN! MAN —NdM da è dy RENE dx
sont égaux entre eux et à la quantité
dz (dx d'y — d'y dx) + dy (d°z dx — dx d°z) i | + dx(d'yd'z—d'zd'y),.
| 70 ps è “ r <. + P + 7e L *: | +.
dre ne
.de l'hélice. Réciproquement, il est visible que toute courbe dont les deux.
ET, PAS F } SA, | 5 " LR 2e Il est facile d'en conclure que Le 12
Là (dx d'y — dy dx) + (dzd°x — dx d?z) + (dy d’z — dzd°y} | LA dz (dx d'y — d'y dx) + dy (d?zd°x — d'x d'z) + dx (d°'y dz — d'zdy) valeur qui peut s’écrire aussi
E. L? + M? + N° L Ldx + Madsy + Nd:z° ou encore "+ a.
* À ds FE
a "A TE Mdr Na)
ne.
7. Si l’on applique les formules qui donnent les rayons p et r à l’hélice… tracée sur un cylindre droit à à base circulaire, on trouve que les deux cour-
bures de l’hélice sont constantes, ce qui du reste est évident à priori. Les valeurs constantes de r et £ sont d’ailleurs quelconques, et on les rendra égales
à des quantités données en disposant du rayon de la base du cylindre et du pas.
courbures sont constantes ne peut être. qu’une de nos hélices, car en faisant. coïncider une de ces hélices avec la courbe dans trois éléments consécutifs mm! m'm", m'm", ainsi qu'on le peut, les éléments suivants seront tous déterminés et les mêmes pour l’hélice et la courbe d’après la condition de constance des. deux rayons. M. Puiseux a démontré ce mème théorème analytiquement en partant des formules qui donnent r et p et en cherchant directement la courbe pour laquelle ces deux quantités à la fois sont constantes. Son analyse es! élégante et offre un bon exercice de calcul. M. Puiseux prend pour variable indépendante l'arc s de la courbe. Il a donc ces deux formules
(1) = V(dx) + (d'y) + (d'z) et (2) ee ee p(Ldx + M d'y +Nd'z)
dans la seconde desquelles nous nous. souvenons nie '
L= dyd’'z— dsd'ÿ, °.M=— de = drd'z, 7e CN
Le problème à résoudre consiste à intégrer 4 Pants). set (2)4 de LE É quelles p et r sont des constantes, et auxquelles il faut nd la relation . * nur Ps à L : u @) + Fiat + ddr à. « .,?
“ «” . # & » uen ;
En différentiant cette dernière équation, nous trouvons’, à cause de ds — 0, …
Fe +
De: ARE d'a dr de = 0 pe
De ‘l'équation (1 jn nous tiro D.
