LA PA LÀ

Donc, traitant ces équations comme dans le cas précédent , lé-

quation

JSTAxz +By +z,(x — a} +(y —b} +r]—o, à laquelle on parviendra de la même manière, sera celle de la surface demandée.

DES SURFACES ENGENDRÉES PAR LE MOUVEMENT D'UNE DROITE QUI EST TOUJOURS HORIZONTALE, ET QUI PASSE TOUJOURS PAR LA MÈME VERTICALE.

Les surfaces engendrées par le mouvement d’une droite qui est toujours horizontale, et qui passe toujours par une même verticale, se rencontrent souvent dans les arts. La surface du conoïde de la voüte d’arête en tour ronde, les surfaces supérieure et inférieure de la courbe rampante circulaire, la surface inférieure des marches de la vis à jour circulaire, etc., sont toutes soumises à cette génération, et elles ne diffèrent entre elles que par la courbe qui, dans chacune

d'elles, dirige le mouvement de la droite génératrice. Nous nous

proposons d'exprimer cette génération.

PREMIÈRE MANIÈRE, D'APRÈS LA CONSIDÉRATION DU PLAN TANGENT

Un caractère général des surfaces dont il s’agit, et qui est indépendant de la nature de la courbe qui dirige le mouvement de la seénératrice, c’est que si, par le point de contact, on mène dans le plan tangent une horizontale, cette droite passe toujours par la verticale, puisqu'elle est la droite génératrice dans une de ses positions. D'après cela, si l’on suppose que le plan horizontal soit un des trois plans rectangulaires auxquels la surface est rapportée, et que la verticale donnée passe par l’origine, et soit l'axe des z, on aura l’équation de la droite horizontale menée dans le plan tangent, en faisant

: — =" dans l’équation de ce plan; ce qui donnera

A #14 dz + / dz'\ EE (x met! : ) (5 )+ (9 a À à ) E) = 0°

Or, pour que cette horizontale passe par la verticale donnée, il faut

que sa projection horizontale passe par l’origine, ou que, dans l’équation de cette projection, les termes sans x et sans y deviennent

nuls ; il faut donc que l’on ait

dz' # CAES (Te) +) (ar) ARE qui est l'équation demandée.

SECONDE MANIÈRE, EN QUANTITÉS FINIES

Un autre caractère des surfaces que nous considérons, et qui de mème est indépendant de la courbe qui dirige le mouvement de la génératrice, c’est que si on les coupe par un plan quelconque mené par la verticale, on a pour section une droite horizontale. Or,

Gp

l'équation d'un plan quelconque mené par la verticale est Ÿ —= ax, ou ner É

dans laquelle + est le paramètre qui détermine la position de ce plan; paramètre qui est constant pour le même plan, et variable d’un des plans verticaux à un autre. De plus, l'équation d’une ligne horizontale est 3 — £. Si donc le point que l’on considère se meut sur la surface sans sortir du même plan vertical, ce qui suppose que 2 est constant, 1l ne sortira pas non plus de la même ligne horizontale, et B sera aussi constant; mais si, dans son mouvement, il change de plan vertical, ce qui suppose que « est variable, 11 changera aussi de ligne horizontale, et B sera aussi variable.

Les surfaces que nous considérons sont donc telles que # et £, ou

les quantités Z et z qui leur sont respectivement égales, sont con-

stantes ensemble et variables ensemble. Donc ces quantités sont fonctions l’une de l’autre. Donc l'équation générale de ces surfaces est