LE
he. dy = Vdz* tang*w — dx devient sh G
is | 2 | 2+@
dy = + dz tang w cos ———,
É £ SIM & COS w
et il en résulte, à désignant une nouvelle constante, :
Mn 2
Fi (12) * y
b— Æ p sin? © sin ———.
| p Sin w COS w
…. Les équations (11) et (12). d’où l’on déduit encore celle-ci + ;l Ù
LR cès 0 ex . “ VA ’ . L 4 FA Li appartiennent à une hélice tracée sur un cylindre droit dont les génératrices < - sont parallèles à l’axe des z, et dont le rayon est p sin? w. + Aïnsi l’hélice est la seule courbe dont la première et la seconde courbure
soient à la fois constantes. ;
(x a) + (y — 8) — p''8int Si
‘rales de ces fonctions. Us solution de ce problème conduit, par exemple, à
; se 258 —
8. M. Bertrandest parvenu par ee considérations géométriques à ün autre …
théorème plus général et très-remarquable, savoir, que l'hélice tracée sur un
cylindre quelconque est la qule courbe
aquelle le rapport des rayons sa
et r de courbure et de torsion soit consta thode de M. Puiseux ne paraît
pas se prêter à la démonstration de ce noi éorème , et c’est là une imperfection véritable. On doit naturellement dé, le voir sortir des mêmes for-. mules analytiques deux théorèmes liés de si près l’un à l'autre. M. Serret a ; réussi à les embrasser, en effet, dans une. même analyse , et Je ferai plaisir à nos lecteurs, en wanscrivant ici la Lettre encore inédite qu'il a bien voulu m'écrire à ce sujet. M° Serrêt a fait it usage de certaines variables qu'il avait déjà … employées au tome XIIT du Jour nal de Mathématiques, pour résoudre le problème suivant : Æ, y, z,s étant quatre fonctions d’une variable indépendante 8
assujetties à vérifier l'équation
dx? + dy* +de = ds, RE exprimer sous forme finie, et sans aucun signe d’intégration, les valeurs génétrouver! des FR s à. double courbure ‘qui soient à la fois énNaies et recti-
ee dont l’a arc dépende d'une transcendante donnée. Le jour les courbes planes ag de l équation PUS simple EE
ire. Les Sa tr Seri ét pour Fr équation
dx? RP KZ = dé r à
nés & juées è et pa EU beaucoup moïns utiles. Nous atta-
fesre ( u contraire, rande i Ytance au ésultats nouveaux contenus dans la Lettre dont nous venons de —. Porc letexte :
peur “ ‘variables dor ty ‘ai fait usage au tome 21 de #4.
AR, in 7 ETES La ” ae pe IS
re 0000 =
A 7) désignent Le fonctions d’une même variable indépen-
eut servir à simplifier considérablement l'intégration de quelques diffé sn Te x pride verses propriétés relatives à la courbure “ ourbes à double courbure , ou, comme on dit aussi, des
5 LAUR À - se se gulaires. On peut Hautes le plan : courbe FAT par l'équation <
2= PL If —u, ü
: À v L Pa * À + -q, étant des fonctions d’un paramètre in ndéterminé 8, et la cour héelles ème sera représentée per Je le s pme des trois équations “ Rue PR x Les (ce ä ra re F : ” 5e D px 5 RTS u, Tr. 2€. 2
» dont les deu * dernièr s obtiennent e en rc tant la première par rapport » au paramètre 9 0. , qu ie nous prenons } pour var iable indépendante. » La substitution de | es variables } That aux coordonnées x x, Y, 2, simplifie » bent MST eUle de la théorie de la courbure des courbes gauches; D » dan que quelques-unes de ces formules ne contiennent plus que deux des tro .
is variables p, q, u, circonstance dont nous HLOHET OS plus loin.
» Des équations {) on tire: :;, SM Er ; + EM 1 F dq d°u — du d°q ; Ke” " »
ES | ne. “à
(5) 1 0 a 2%: £ ee Ÿ: 4 '
2 LL 1 Ar ë£ À "+ PNR + 8 de
combisalg 16 équations (1) avec celles qu'on D par la différen-
tiatiôn , ï . tient, ee : = © à * wi « ed e ” Le L. A à * dz = p dx + qdy; UE de ÿ F DO) lai < . dp dx + dq dy = 0, , Te FPT AU
U. e (dpdr+d'qdy=d'u—x 4 HEURE 1 «
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d'où l dou ‘en faisant, pour HE
Ge” \ es fat À te du=edp— — y dd q >: D . dgdp—dpd'q.
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