I existe une autre transformation de la formule générale
ds’ = E du? + 2F du dv + G dv?,
en vertu de laquelle on peut supposer, pour une surface quelconque, le coefcient F réduit à zéro , et les deux autres coefficients égaux entre eux. En écrivant,«&, 5 au lieu de u, », et désignant par À la valeur commune des deux coefficients , on a ainsi
ds? — }(da° + df£*?).
Pour effectuer la réduction dont nous parlons, il faudrait, il est vrai, savoir intégrer une certaine équation différentielle du premier ordre, ou, si l’on veut, trouver le facteur à l’aide duquel on rend son premier membre une différentelle exacte. Mais le seul fait de la possibilité d’une telle réduction est très-
= Ho —
remarquable, et donne lieu à des conséquences intéressantes. On Pétablira comme il suit :
Le second membre de l’équation ds? = E du? + 2 F du dv + G dv”, qui est du second degré par rapport aux différentielles du, dv, et qui, par sa nature mème, doit rester >> 0 tant que l’on n'a pas à la fois du —0 et dv— 0,
est le produit des deux expressions essentiellement imaginaires
F l à FEPE) ns 9 du VE + it + VEG— F1) l'an
et
du VE + (CF —VEG Fi V5).
VE Soit w + y Ÿ—1 le facteur à l’aide duquel la première de ces expressions devient une différentielle exacte (on aurait aisément ce facteur si l'on savait intégrer l'équation diflérentielle qu'on obtient en égalant l'expression citée à zéro), et désignons par d (are B Ven la diflérentielle résultant de la multiplication par ce facteur ; la seconde expression , multipliée par — » Vaste donnera de même la différentielle d (2 — £ Ÿ—1). On aura done, en multipliant les deux différentielles .
(u° + v?) ds? = da? + d£?, d'où ds? — À (da° 2e d£*) :
en faisant, pour abréger,
3. Les deux variables 3, £ constituent un genre remarquable de coordonnées sur la surface. Le rectangle 4x df5 manquant dans l'expression d$ = (da? + df?), les équations
« — constante, (5 — constante représentent deux familles de courbes qui se coupent à angle droit, et chaque point m» de la surface est déterminé par la rencontre de deux de ces courbes. On voit aussi que les éléments ds,, ds, des deux courbes (B)et (æ) sont exprimés par ds —\A;da.- ds —\).df.
il suflit que le rectangle dzd5 manque dans l'expression ds? — (da? + df°),
pour que les courbes déterminées sur la surface par les paramètres z, B se coupent à angle droit. Mais l'égalité des coeflicients de da° et dB? donne à ces deux systèmes de courbes orthogonales conjuguées un caractère tout parüculier. En supposant les différentielles dx, df constantes, on prouve aisément qu'ils divisent la surface en rectangles semblables, et même en carrés, si da — df£. Cette propriété les distingue de tous les autres. Je confonds avec eux, bien entendu, ceux qu'on en déduirait en remplaçant & par une fonction de +, et par une fonction de É, car les lignes (x), (B) resteraient les mêmes. Au reste, comme il y a une infinité de facteurs qui rendent le premier membre d'une équation une différentielle exacte, il y a aussi une infinité de systèmes de
variables &, 5 qui donnent ds — 1(dax°+ df°). En effet, au lieu du facteur + y Ÿ—1 qui produit la diflérentielle 4 (x + f5 Ÿ—1), on peut employer le facteur & (a + B V—1) (u + v V—r), qui produira la différentielle Ga +8 V—:) da + B V1) = dIT (a + B V—:).
En d’autres termes, si l’on pose RON TUE BV r},
en prenant pour &’ la partie réelle, et pour £’ le coefficient de Ÿ— 1 dans le second membre, on aura encore ds = V (da! + df£"?), ce qu'on peut aisément
vérifier. La formule CAES — LL NET) fournit, au surplus, la solution la plus générale du problème proposé. On peut le démontrer comme il suit. Pour que les deux systèmes (x, 5), (x/, 5’) donnent ds? = 1(da° + dB?) = \ (da” + dB"),
il faut et il suffit qu'on ait à la fois
Ge (= (2 (27
et da! da’ de Ci AR À da dB da ds La seconde équation exige que l’on ait dB ) da! + da’ : de" TETE TE T En faisant donc 16 la’ Liane ut
= al a on en conclura dB" 1 da’ dé æw dB
et la première équation
da’ ons dB" SENC AU LOT da aa Vas JT (as
donne ensuite
d’où
fournit encore
Il est aisé d’en conclure
et
dB La da
et, par conséquent, a+ BV = TB V5), ce qu'il fallait démontrer.
4. Les formules précédentes seront d’une grande utilité dans la théorie des lignes tracées sur une surface. Veut-on, par exemple, s'occuper des lignes géodésiques? M. Gauss à donné les équations qui les concernent dans le cas le plus général de *
ds? = E du? + 2F du dv + G dv*°.
Mais ces équations sont très-compliquées. On les rend déjà plus maniables en
supposant F — 0, et en prenant
ds Edu Gare
Alors, £ étant l’angle sous lequel cette ligne vient couper successivement les
diverses courbes représentées par l'équation u — constante, on trouve
ie eu (Se HOME du):
av
M, Ne D'ailleurs, pour cette ligne comme pour toute autre :
ne VE . VG.d .. VE.de SIN , COSI = ——— ,) tang 4 = ds ds
Mais on aura un résultat bien plus simple encore en employant notre dernière expression de ds”?, savoir | ds'— {da + d£*);
car, dans cette hypothèse, et en prenant pour ? l'angle avec la courbe (2), il nous viendra . I Le EE d} di= — | —df — — da) 2} (S ) et
>. Je ne puis m'empêcher, à l’occasion de ces formules , d'ajouter l’expression du rayon de courbure géodésique d'une courbe quelconque. Soit 1 l'angle que celte courbe, au point » que nous considérons, fait avec la ligne (w) qui passe par ce point. Soient : + di ce que cet angle devient lorsqu'on se transporte à l'élément suivant sur la courbe et + 94 ce qu'il deviendrait pour la ligne géodésique tangente à la courbe en #1. I est clair que di— di est l'angle de contingence géodésique, et, par suite, en nommant p le rayon de courbure géodésique , on a LOTO di
b ds
Mais la valeur de di est donnée par la théorie des lignes géodésiques, et nous
venons de rappeler qu'en prenant
ds = Edu+ Gdv?,
on à / l 1E Et ae dv => du 2 VEG \du de Donc Fe di I dG ds dE du o A ds 2 VEG du ds dd ds { Mais du sin dy cost
RÉ TENT Jl s'ensuit que I di I dG ; [ dE RES TE tes — COS 1 — — 0 ds 2GVE du 2EVG do
Si l'angle s'est constant, c’est-à-dire si la courbe donnée coupe sous un mème
angle toutes les courbes (4), il vient simplement
I I dG ; I A D ner —— SIN Z.
0 1aGVE du ATP RTE dv
Par exemple, pour la courbe (u) elle-même, on à /— 0. Son rayon de
courbure est donc } I dG
