I ” LA
Il résulte de là , pour —; en général, cette expression assez remarquable p
di cos À sin À
ds Æ
pi
6. Au reste, on pourrait aussi trouver directement la valeur de p, sans se servir de la théorie des lignes géodésiques, et tirer, au contraire, de cette valeur l'équation fondamentale de ces lignes en observant que pour les lignes géodésiques seules on a p — ©. Un des moyens les plus simples qu’on puisse employer pour cela est de rattacher la valeur de la courbure géodésique à celle de la courbure absolue. Soient mn... la courbe dont nous nous occupons, et mn, np... ses éléments successifs que nous supposerons tous égaux entre eux et à unité de longueur. Prolongeons mn de nt=— mn, et tifons tp qui représentera. comme on l’a dit dans la Note I, la courbure absolue de mnp.... Pour avoir la courbure géodésique , abaissons du point { une perpendiculaire {q sur la surface, et Joignons d’abord 29, puis gp. La droite nt faisant avec a surface un angle infiniment petit, sa projection zq lui est sensiblement égale. Or zq est (on le sait, et cela est presque évident d’ailleurs) le second élément de la ligne géodésique A272...., langente à mnp..…., et osculatrice de la section normale faite dans la surface par le plan mng. Donc gp exprimera la courbure géodésique de mnp..…., comme tq la courbure absolue de la section normale mnq. Ainsi le triangle rectangle infinitésimal gp, par ses trois côtés tp, 1q, gp, vous donne : 1° la courbure absolue de mnp..., qui est aussi celle de la section oblique faite dans la surface par le plan mnp des deux premiers éléments; 2° la courbure absolue de la section normale correspondante mng; 3° la courbure géodésique
Dre
de mnp.... De là d'abord le théorème connu de Meusnier, puis une expression
du rayon p de courbure géodésique au moyen du rayon de courbure absolu R vil PAS ? = ? :]
de mnp.... En désignant en eflet par 0 l'angle tpq, qui n’est autre que l'angle du
plan osculateur de minp... avec le plan tangent, vous aurez le rapport de 1
à tp —sin 4, c’est-à-dire le théorème de Meusnier, puis
= cos 0 , d'où R MES cos 9
7. Ilest aisé de voir aussi que le rayon p de courbure géodésique de mnp… n'est autre chose que je rayon de courbure absolu d’une certaine courbe plane m'°n'p".…., savoir de la courbe dans laquelle mnp... se transformerait si l’on appliquait sur un plan la surface développable formée par les intersec- . ions successives des plans tangents menés le long de mp... à la surface sur laquelle cette courbe mnp... est située.
Ainsi
est à la fois la valeur de l’angle de contingence géodésique pour mnp..…, et
la valeur de l’angle de contingence ordinaire pour n'n'p'.... L'intégrale cos ÿ ds [af si P
qui figure dans certains théorèmes de M. Bonnet, s'exprime donc par l’angle des tangentes ou des normales extrêmes de la courbe plane m'n'p'...; et cette considération pourra servir à simplifier les énoncés auxquels nous faisons al-
lusion, et à en augmenter encore l'élégance.
NÔTE IIT.
Théoréine concernant l'intégration de !l ‘équation des lignes
s'eo CSIQUES.
1. Voici un cas fort étendu dans lequel l'équation des lignes géodésiques s'intègre. Imaginons que ds étant l'élément d'une ligne quelconque tracée sur la surface dont on s'occupe, on ait réussi à mettre l'expression de ds? sous la forme
ds = 1 (da + df?).
Je dis que l'équation des lignes géodésiques s’intégrera toutes les fois qu'en prenant æ et 5 pour des coordonnées rectangles on parviendra à déterminer le mouvement d’un point matériel soumis dans un plan à une action telle que À soit la fonction des forces et 2À la force vive.
En d’autres termes, on intègre l'équation des lignes géodésiques dès qu'on sait intégrer les deux suivantes :
Le A OR 1 à CNRC 1
dr? mr dr? PT
en se bornant au cas où l’intégrale connue
gb dg\? —|)+{[| —=2À<+constante, + ne dr
/ da \° dé F4 n ee
la constante étant prise égale à zéro.
C’est ce qu'on voit d’abord par le principe de la moindre action, en vertu
se réduit à
duquel les deux questions reviennent à rendre un minimum la mème intégrale
JV (de + df).
es à bee —
Pour le démontrer d’une autre manière, je pars de cette propriété bien connue, et d’ailleurs très-facile à établir, que la ligne géodésique est celle que décrirait sur la surface un point matériel assujetti à se mouvoir sur cette surface, et lancé d’abord avec une certaine vitesse, mais ensuite abandonné à
lui-même. Cela étant, les formules de la Mécanique analytique donnent
Pa
LUE TR di | {dx a dB Ê dt 2 da | \at di FO d !
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PE TE IX da\° HE \ES UE M het TA Se FEES Bee , dt 2 df dt 1 38 D
On simplifiera ces équations en ayant égard au principe des forces vives,
