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d'où l’on conclut le théorème énoncé. J'aurais pu arriver à ce résultat au moyen des formules citées dans la Note IT Mais il y a plus d'élégance peutêtre à employer, comme Je le fais ici, les principes et les formules de la Dynamique. Un théorème analogue s'applique d’ailleurs au cas plus général d’un
AD + point en mouvement sur la surface sous l'influence de forces données, et ramène toujours la question à celle du mouvement dans un plan avec une autre fonction des forces et une force vive différente. En effet, si U est la fonction des forces et 2 (U + C) la force vive dans le mouvement sur la surface, on
a à rendre un minimum l'intégrale
j VU HA (dz chant)
laquelle est identique avec celle-ci
JVA(U + C) (da®+ dfs), qui répond au mouvement d’un point dans un plan avec une foncuon des forces À (U + C) et une force vive 2 A(U+C).
2. On a un cas remarquable d'intégrabilité pour les lignes géodésiques . lorsque la valeur de À est de la forme Sie 7.
Nos équations deviennent alors, en indiquant les dérivées par des accents,
d'a d?$ VUT fe), = —E(6),
d'ou LUE 1 RE F (6 2 (Se) Sie) + 2 (5) re (b):
Les constantes a et 4” ne sont pas indépendantes entre elles. En eflet, l’équa-
ton
da fr, df ne. , (ze Ar ne
(2) ++ (A) = arte) —2r (6)
exige que
dr
Mais d'un autre côté -
( AE (SE) — 2 f(a)—2F(f)+2a—a;
dr) \ 4
donc a'— a. Par suite,
1 /da\? CAE à : el =f{a)—a, we ac (6):
En divisant ces équations membre à membre, on en conclut définitivement
dx df
VFla)—a Va—F(f)
Ge
et la dernière intégration n'offre dès lors aucune difficulté puisque les variables sont séparées.
L’équation
peut s'écrire f(a) dé? + F(f) du?
PTT dar dp
Soit 1 l’angle sous lequel la ligne géodésique vient couper successivement les
courbes représentées par l'équation & — constante, en sorte que
= tang FA
En introduisant dans nos formules cet angle #, c'est-à-dire en remplaçant da
par tang :d6, on a donc
fa }cos :+F(£ ) sin” 1—= «4.
La longueur d’un arc quelconque s de la ligne géodésique est susceptible
aussi d’une expression élégante. En effet, on prouve aisément que ds = da Wf{a) — a + d£ Va F\{B}
Cela permet de remplacer l'équation
LS df par celle-ci d ds —0,
où la variation 9 se rapporte à la constante a, et dont la forme donne lieu à d’utiles conséquences.
Mais dans ces Notes rapides je dois me refuser à de tels détails.
3. N'oublions pas, du moins, de montrer que les formules précédentes s'appliquent à l’ellipsoïde. C’est, en eflet, par l’équation différentielle des lignes géodésiques de l’ellipsoïde, dont M. Jacobi a le premier trouvé l’intégrale. que toutes ces recherches ont commencé.
Soit
TL 18e z°
"DS p— Ag p?— ÆNa
ss" NT. 2
l'équation d'un ellipsoïde care dont les trois axes par ordre de grandeur
sont 29, 2 Vs? — b?, 2 Ve? — c?, Si l'on prend w? entre les limites b° et «?,
et y? entre les limites o et b?, les équations
2 3 z GE, Ë a = 2 RS D Enr nant ét
et r? y? Z in ns — iv y? DE c? — y»?
représenteront deux hyperboloïdes qui eouperont l’ellipsoide suivant deux courbes que j'appellerai (x) et (v) parce qu’elles changent avec les deux para mètres et y de nos surfaces. On sait, et il est facile de vérifier, que ces courbes sont précisément les lignes de courbure de Pellipsoïde. Quoi qu'il en soit, on peut prendre y et y pour les variables qui déterminent sur l'ellip-
soïde la position d’un point; et comme on trouve sans peine
CE ET DER ET CET TEE OT ET, RO PR 0e E EEE ES Eu T-—-—- ?
qe b Vet— bp? b° c Ve? — b?
on en conclut pour le carré ds? de tout élément de ligne ellipsoïdale
En posant donc
(p°— u?) du? fe Sp)
=idaé.
ce qui rendra y fonction de x et y fonction de £, on aura ds? — À (da? + d£?) ‘
avec la condition
qui rend les formules du n° 2 applicables. On arrivera ainsi en particulier à l'équation élégante
ue? cos” i + y*sin°?t — a, laquelle revient au fond à cette autre, non moins remarquable, PD — constante,
où D est le demi-diamètre de l’ellipsoïde , parallèle à l'élément ds de la ligne
géodésique, et P la perpendiculaire abaïssée du centre sur le plan tangent à la surface en un point de cet élément.
En voilà assez sur ce sujet. Renvoyons pour le resie aux Journaux mathématiques où l’on trouvera les travaux de MM. Jacobi, Joachimsthal, Chasles, Michaël Roberts, et ce que J'ai pu faire moi-même dans cette théorie si curieuse des lignes géodésiques sur l'ellipsoïide. Quant aux lignes de courbure de cette surface, voyez surtout l'excellent ouvrage de M. Charles Dupin {Développements de Géométrie, etc.); c'est le vrai commentaire qu'on pouvait désirer sur Monge.
L'ouvrage de M. Charles Dupin est entre les mains de tout le monde, et il serait fort inutile d'en reproduire ici les diverses parties. Les Notes que nous ajoutons portent naturellement sur les points que ce savant académicien a laissés de côté, et pour lesquels M. Gauss a ouvert des voies nouvelles : nous avons d’ailleurs bien plus pour objet d'indiquer aux jeunes gens les sources
où ils doivent s'instruire que de leur donner des lecons en règle.
