PES
L'élément d{ de longueur de la courbe (p) sera donné par la formule é [ 1 URL" ET de",
£ . 2 . . É Des EE. : | :
ou, en négligeant di » qui coniuent en facteur la SIXIEIMC puissant e GES,
s° g dl? — $S — — dt GR
s' d w° ( w sin? w | 2 F
ou. enfin.
ds do
RL
en développant, négligeant de nouveau un terme affecté de s°, et mettant pour R, sa valeur.
L'élément 4) de la courbe (7) elle-même sera donné par la formule dX = dl? :+ dz?, z étant la distance des différents points de cette courbe au plan tangent en m. Or cette distance est, en négligeant toujours les termes du quatrième ordre,
Le ro
on à donc
| HE fo AE PT 1\ sin?26 dz° = : f La — ° (k 7 = y 0e , :
ce qui donne
UE 1 \ sin’2o 1 /cosSw sin’ w\ 27 | F R) 4 3 | EL ) :
d’où l’on tire, en extrayant la racine carrée, et négligeant les puissances de s
d\=:5 de du
supérieures à la quatrième,
GE (3 cos © — 4cos' w) di=5sdo + 5 do L 4 GES (3sin* © — 4sin* w) }. &
Eh! 2 Sin” 6) COS” © 3RR,
En intégrant de o à 27, et remarquant que,
N2T | (3 cos?» — 4 cos" un) do = 0, e/Ù 27T [ (3 sin* wo — 4 sin‘ w) do = 0, 9 9 ; TT sin? 6 COS? & du — 7 [a] A on trouve donc enfin TS" À — 275 FEES OMR.
Cette expression ne dépend que du produit RR; puisque s est une constante : À ne devant pas changer quand on déforme la surface, le produit RR,; doit par suite aussi rester invariable; le théorème de M. Gauss est donc démontré.
Dans la déformation de la surface, ce n’est pas seulement le contour À de la courbe (72) qui doit rester invariable; l'aire contenue dans ce contour doit aussi conserver sa valeur. En calculant cetie aire, on aurait donc une seconde démonstration du théorème qui nous occupe. (f’oyez, sur ce point, dans le Journal de Mathématiques , une Note de M. Diguet.)
2. J'ai pris, dans ce qui précède, M. Bertrand pour guide. M. Puiseux, qui a eu, comme M. Bertrand, l’idée de se servir du contour À, suit dans son calcul une marche un peu différente. Comme il est bon, dans une question aussi intéressante, d'envisager les mêmes objets sous leurs diverses formes, je vais
transcrire ici textuellement l’article de M. Puiseux.
« Étant données deux surfaces, on peut toujours, et cela d’une infinité de » manières, faire correspondre chaque point de l'une à un point de Pautre, » de façon qu'à toute figure tracée sur la première réponde une figure tracée » sur la seconde. Nous dirons que les deux surfaces peuvent se transformer » l’une dans l’autre, si l’on peut faire en sorte que les ares correspondants » soient égaux : cette condition remplie, il s'ensuit que les aires et les angles » correspondants sont aussi égaux, comme on le voit par la décomposition des
» surfaces en triangles infiniment petits.
» Cela posé, le théorème énoncé par M. Gauss est le suivant : « Si deux surfaces peuvent étre transformées l’une dans l'autre, le pro-
» duit des rayons de courbure principaux en chaque point de l'une est égal
» au produit de ces mémes rayons au point correspondant de l'autre. »
mi ne
» Pour le prouver, observons d’abord que si l’on trace sur la première surface une ligne géodésique, c’est-à-dire qui soit la plus courte entre deux de ses points, la ligne correspondante sur la seconde surface sera aussi une ligne géodésique : car si entre deux des points de cette dernière on pouvait mener une plus courte ligne sur la seconde surface, il existerait aussi entre les deux points correspondants sur la première surface, une ligne plus courte que la ligne géodésique qui les joint : ce qui est contre la définition. » Imaginons maintenant que, par un point m de l’une de nos surfaces, on mène toutes les lignes géodésiques qui y aboutissent, et qu'on prenne sur chacune d’elles un petit are d’une même longueur 5; les extrémités de ces ares formeront une courbe fermée. Faisons la même construction sur la seconde surface, à partir du point m' correspondant à m1; nous cbtiendrons une nouvelle courbe fermée qui sera la correspondante de la première, et devra, par conséquent, avoir la même longueur. De cette égalité résulte, comme on va le voir, le théorème en question. » Soient x, y, z les coordonnées d’un point de la première surface; faisons, suivant l'usage,
dz — p dx + qdy, dp — rdx + AVI AT ES dx +1 dy; d'où il suit
d'3= pd°x + q dy + rdr? + 2s dx dy + t dy?.
Appelons s l'arc d’une ligne géodésique passant au point (x, y, z): on sait que le rayon de courbure de cette ligne est normal à la surface; il en
résulte, en prenant s pour variable indépendante, dx+pd z=0,, dy+ Jde 0.
d'ou, en différentiant,
d'x+pdz+(rdx+sdy)d°z—o, d'y +qd'z+{(sdr+1d)dy"z—o.
De plus, si nous appelons £, n, € les coordonnées de l'extrémité d’un arc égal
à z porté sur cette ligne à partir du point (x, y, z), nous aurons
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