TO
BHO
Les expressions de Z'et de /’ devant être égales, quelque petit que soit 5, les
coefficients des mêmes puissances de cet arc doivent être égaux; on a donc RRPSRIRE Ce qu'il fallait démontrer. »
3. Mais si l’on réussit de cette manière à établir que le produit RR, reste
constant dans toutes les transformations que peut éprouver une surface flexible ,
mais inextensible, un calcul nouveau est nécessaire pour trouver l’expression
e de ce produit constant. La méthode de M. Gauss, beaucoup plus longue, il est
vrai, mais aussi beaucoup plus complète, donne au contraire la valeur générale
de RR,, quelles que soient les variables dont on fera usage pour déterminer sur
la surface la position de chacun de ses points.
La valeur générale de RR, dont nous parlons est très-compliquée; elle dépend
des trois coefficients E, F, G qui figurent dans l'expression du carré ds” de
l'élément d’une courbe quelconque tracée sur une surface, et des dérivées pre-
mières et secondes de ces éléments; mais on la simplifie beaucoup quand on
suppose l'expression de ds? réduite à la forme
et
ds" — E du? + Gds?°, , à plus forte raison, quand on prend
ds? = du? + G dv,
ou
ds? = À (da? + df£?);
ce qu'on peut faire, comme on sait, pour toute surface, en choisissant un
système de coordonnées convenables.
[We ) En supposant
ds? = E du? + G dv?,
ce qui exige seulement que les deux systèmes de lignes représentées par les équations
= CONSOMME COTLSLATLLE", soient orthogonaux , la formule de M. Gauss fournit
WA à d'G
Lane die?
) —2EG{ le
EG RE 4G el çtE dG A
RR, de NN dé du du do
Pour donner à ce résultat une forme à la fois simple et commode, j'introduis Les rayons de courbure géodésique p1, p: des courbes représentées par les équations respectives
DE=COTISIATLTC OU COTIStarite.
En d’autres termes, je fais
I I dE I I dG
Ph 2EVG # Op 2GVE &
ia Ad DEN SOUS Pi p RR, VEG\ de du
que l’on pourra vérifier aisément, et qui renferme comme cas particuliers (on le verra avec un peu d'attention) certains théorèmes donnés par M. Lamé sur les rayons de courbure principaux d’un système triple de surfaces orthogonales.
Quand on se borne à prendre, et on le peut, nous l'avons déjà dit, pour une
surface quelconque ,
ds?’ — du? + Gds*,
ME 1,el, par conséquent :
I dG\°? dG = (Se) — 2G
du
c’est-à-dire
M. Gauss a fait un grand usage de cette formule dans son Mémoire.
RQ DER 4. Mais je trouve ° le moi ur quable la formule suivante: 4. Mais je trouve, pour le moins, aussi remarquable la formule suivante: I LR IOR d?log à = — — : É y RER, 2 } ( da’ dE
qui se rapporte au cas de
ds — (da? + dé),
et dont la démonstration directe est facile, comme je lai fait voir au tome XII du Journal de Mathématiques. L'emploi des coordonnées &, 5 m'a donné ainsi une méthode simple pour établir l’invariabilité de la valeur du produit RR, dans les déformations d’une surface; et, si cette méthode est moins complète que celle de M. Gauss, qui fournit l’expression de RR, pour des coordonnées quelconques, elle donne, du moins, quelque chose de plus que celles dont MM. Bertrand et Puiseux ont depuis fait usage. Elle fait connaître l'expression de RR, pour un système de coordonnées , particulier sans doute, mais convenable a toute surface donnée et adapté à toutes les formes que cette surface peut prendre par la flexion; cela doit suffire dans la plupart des applications.
>. Pour obtenir l'équation aux différences partielles des surfaces développables ou applicables sur un plan, M. Gauss fait observer que le produit RR,, qui pour le plan est infini, doit par cela mème l'être aussi pour les surfaces développables qui naissent du plan par la flexion. Ainsi, pour ces surfaces, un des rayons principaux R, R; est nécessairement infini, de là équation en
coordonnées rectangles
d'3 d°z d?z Ve Are LOVE dy Fa ge
à laquelle toute surface développable doit satisfaire. Mais il restait, ce me semble, à démontrer que, réciproquement, cette
équation aux différences partielles , ou l’équation équivalente
