RR

ne peut appartenir qu à une telle surface. C’est ce que l'on prouve aisément à

l’aide de notre formule

TA 1 /d’log} d° log À he de d 6:

qui donne alors d?log À d? log} PRE — 0.

De là résulte, en effet, log À — (a + 6 Nail b(x— 6 von a hu)

en désignant par des lettres majuscules ce que deviennent les fonctions et Ÿ,

lorsqu'on y change le signe de V—1. En posant donc

pla + 6 Er Y (x —— 5 V—:i)— 2 f(x nt VE) De — BV r)+ Da BV) = 2F(œ — BV—r),

on aura log RS EN) LE pr),

expression dans laquelle les deux fonctions se changent l’une dans l'autre

lorsqu'on change le signe de Ÿ—1.

Ayant ainsi

Ài—=e 6

Fiz—fgy—1) , faisons | IPN ENPre NT er.

Je É(astpN Et" d(a — 5 DR EN EP Nr.

et 11 nous viendra A(daæ + df°) = dX° + d Y?,

quantité qui peut se construire sur un plan par les coordonnées rectangulaires X, Y; d’où l'on conclut que la surface est réellement applicable sur ce plan, les divers éléments ds venant se placer chacun à chacun sur leurs cor-

respondants.

6. Lorqu'on envisage au point de vue où nous venons de nous placer la théorie des surfaces développables , on doit désirer de retrouver, au moyen de l'équation

d'ou z d?z “ — —— | —— | —=0 dr ay? dx dy j

la propriété de ces surfaces, qu’on prend souvent pour leur définition , de pouvoir être engendrées par un plan mobile dont l'équation contient un seul paramètre variable. Soit

dz dz dx

l'équation dont nous parlons peut s’écrire

dp dq dp dq

d'où

Soit 4 la valeur commune de ces deux rapports égaux. Nous aurons

dq Fa dq dp | dp ) dq = 7. 4 == a D = w | da ae, = wdp.

Donc w et g doivent se réduire à des fonctions de p, et l'on peut écrire

g=f{{p); dg=f{(p)dp.

Maintenant. posons

pr +qgy—2z=é; nous aurons , en difiérentiant , dé = xdp + 7dq =|x+y f'(p) ]4p, et nous en conclurons que x + yf'(p) et £ sont des fonctions de p. Soit. d'aprés cela.

£=F(p), z+pt(p)=E"(p).

L intégrale demandée résuliera de l'élimination de p entre les deux équations

z= px + qy —E(p), o—=x+yf(p) —F'(p).

Ces équations appartiennent toutes deux à des plans quand on regarde p comme un paramètre; et cela indique déjà que la surface est formée par des lignes droites. Mais, de plus, la seconde équation est la dérivée de la première par rapport à p. Donc la surface est l'enveloppe du plan mobile représenté par la première équation.

T. Revenons maintenant à des surfaces quelconques. Quand deux surfaces peuvent être transformées l'une dans l’autre sans extension ni rétrécissement des parties qui les composent, on est certain par cela même qu’en deux points correspondants les produits RR, et R'R° des rayons de courbure seront tou jours égaux. Maïs la réciproque est loin d’être vraie, et, malgré l'exemple des surfaces développables, et celui, plus étendu , des surfaces pour lesquelles RR, est une constante, dont on parlera plus bas, il faut bien se garder de eroïre

CE . ’ 2 LA # 27 es que de l'équation RR, — R'R', supposée exacte, on puisse conclure légalité

des éléments linéaires correspondants ds, ds’, égalité qui fait le vrai caractère de la transformation des surfaces dont nous venons de nous occuper. On doit donc désirer de savoir reconnaitre , deux surfaces A et A’ étant données , s’il est ou non possible d'établir entre les points de l’une et les points de l’autre une correspondance telle que l’on ait toujours ds — ds', en sorte que les points homologues infiniment voisins soient situés entre eux à la même distance sur les deux surfaces, condition nécessaire et suflisante pour que les deux surfaces se trouvent composées de triangles égaux et soient transformables l’une dans l’autre, ou applicables l’une sur l’autre, comme disent quelques géomètres. Cette question importante peut être résolue comme il suit.

Cherchez d'abord pour la surface A l'expression de ds au moyen de deux

variables indépendantes quelconques uw, v; et soit

ds? = E du? + 2F du dv + G ds°.

Des valeurs connues de E, F, G on déduira, par la formule de M. Gauss, celle du produit RR;. On aura ainsi

Re OS), De même, pour la surface A’, en employant deux variables 4”, v', on trouvera A ES à PRE Et si les deux points (uw, v), (u', v’) sont correspondants, il faudra d’abord que DUU HIT | HU) Pour que l’équation RER R Von Pure pe lue te).

prise isolément soit satisfaite, il suffit, comme on voit, d'établir une correspondance convenable entre les points (u, v) et (u’, v’') des deux surfaces. Toutefois si l’un des produits RR,, R'R° était constant, l’autre ne pourrait lui ètre égalé qu'autant qu'il aurait de lui-même la mème valeur constante : si, par exemple, f(u, v) se réduisait à une constante C, il faudrait que f{(u', v') se réduisit aussi identiquement à cette constante C. Laissons pour un moment de côté ce cas particulier de

KR, = BR —=C;:

et supposons les fonctions f et f essentiellement variables. Cela étant, rien n empêche de substituer à une des variables u, v la variable f, et d'exprimer ds en f et v par exemple. De mème, on pourra exprimer ds en f et ’, c'est-à-dire en f et v/ puisque f — f. Ainsi désormais il ÿ aura une variable f

commune aux deux surfaces, et cette variable exprimera l’un et l’autre des produits égaux RR,, R'R°. L'introduction explicite de la variable f' n’est pas absolument indispensable dans la pratique, où la remplacerait un emploi convenable de l'équation f{u', v') — f{u,v); mais elle abrége beaucoup l’exposition de notre méthode.

Soit, d’après cela,

ds =L df° + 2M df dv + N di

ds"? — L'df° + 2M'dfdv'+ N'dv”,

les fonctions L', M’, N' de f'et v’ n'ayant, bien entendu, aucun rapport avec les fonctions L, M, N de f et v. La variable f étant la même de part et d'autre , il s’agit de savoir si l’on peut exprimer #’ en f'et » de manière à vérifier, pour toutes les valeurs possibles de f, v, df et dy, l'équation

ds"? = ds°.

À ce point de vue, il faut poser dv! dv’ LORS, FAN Eee ( 4 À == , @ Ze AV d'f sh do L'équation ds" = ds° se décompose donc dans les trois suivantes :

Leo N (Se) Le

af af) — nr ue, de" do / ! do” tt d T M de + À TT N do mn

Les deux dernieres donnent do’ N dv N

d'M—MP MYN—MYN LIN SMIEN PRE; N'VN + 101

moyennant quoi la première devient 17 2M'Q +N'Q°—L,

(æ) LARMES

P et Q sont des fonctions connues de f, , #'. Maïs pour qu'on puisse les admettre comme les deux dérivées partielles de », il faut qu'elles satisfassent

à la condition d'intégrabilité, qui, développée, donne

dP dP d d (E) AA Ge PRE ER

On n'aura pas besoin de recourir à l'équation (É) si l'équation \æ) contient ” : il suffira de résoudre l'équation (x), puis de voir si la valeur de s est telle qu'on ait

dv’ dv’

(7) ue; AFRO

Mais si v’ disparait de l'équation (x), qui dès lors ne pourra être vérifiée qu’en devenant identique, on tirera #’ de l’équation (6), et on verra si la vaieur de v’ s'accorde avec les équations (7).

Lorsque les équations (7) sont ainsi satisfaites par une valeur de v’ tirée de l'équation (+), ou bien par une valeur de s’ tirée de l'équation (£), l'équation (æ) étant identique, on a ds'= ds; les deux surfaces A, A’ sont formées d'éléments égaux, et la correspondance entre leurs points (f,#), (f, v’) est établie par la valeur de v’. Ajoutons que si, par hasard, les deux équations (æ), (5) étaient vérifiées d’elles-mêmes, non-seulement on aurait encore ds'— ds, mais dans ce cas, la valeur de #”, qu'il faudrait déduire, par l’intégration, de l'équation

dv'= P dv +Q df,

contiendrait une constante arbitraire (ce qui n'avait pas lieu auparavant), de sorte qu'il existerait alors une infinité de manières de faire correspondre entre eux les éléments ds et ds’.

S. On concoit, à priori, que ce dernier cas est celui des surfaces de révolution; et je vais prouver que quand il a lieu la valeur commune de ds et ds convient, en effet, à l’élément linéaire d’une telle surface,

Dans l'hypothèse que je veux discuter, l'équation (x) est identique, et les deux membres de cette équation, qui, en général, contiennent, l’un f'et v, l’autre f et #’, doivent se réduire à une même fonction de f seulement, Soit

donc M° M?

Re 0 |:

Il en résultera

AURA CRE \ d'où

ds? = do + K dr*?,

en posant

s(f)dfé= te,

et en désignant par VK la valeur inverse du facteur qui rend

une différentielle exacte dr. La variable 5 remplacera f, et 7 remplacera ».

On trouvera de même dede Kart?!

K’ étant une fonction de 5 et 7’, et l’équation ds” — ds? se réduira en conséquence à celle-ci

K dr! — Fe dr.

Donc +’ ne peut être qu’une fonction de 7, et non de 7 et de 5, comme on de- P ) )

vait le croire jusqu’à présent. Par suite, il faut que le rapport de K à K' soit

par lui-même indépendant de 5, ou du moins le devienne en mettant pour z!

sa valeur en 7. Mais cette dernière supposition exigerait que l’équation

K us Te == [bi]

do ne füt pas identique, et que 7’ fût une de ses racines; dès lors il y aurait entre +’ et 7, partant entre ds’ et ds, une relation déterminée, sans constante arbitraire, contrairement à ce que nous admettons. Le rapport de K à K' doit donc se trouver de lui-même indépendant de 5; en d’autres termes, K et K’ ne peuvent contenir 5 que dans un même facteur commun ® (5), et pour K.

par exemple, on doit poser K=o(s)g(T).

d(r) dr? — b? d8?,

Si, de plus, on fait

b étant une constante à volonté, on aura donc ds? = do? + b*o{c) d6.

Or cette dernière équation convient évidemment à la surface de révolution pour laquelle s est l’arc du méridien, b° 9 (5) le carré de la distance d’un point quelconque de la surface à l'axe de révolution, et 9 l’angle compris entre le plan méridien qui passe par ce point et un plan méridien fixe. Si r est le rayon du parallèle et z l’abscisse comptée sur l’axe de révolution, on aura

= bVo (5), c= fasy/i-

Prenez la constante D assez petite , et la surface sera réelle. La proposition que nous avions en vue est donc démontrée. On trouve mème, en attribuant à D différentes valeurs, une infinité de surfaces de révolution auxquelles l’élément ds convient. Cela est tout simple et tient à ce que, si la formule ds = do° + r° d8? appartient aux éléments linéaires ds d’une surface de révo-

ainsi

lution , elle appartient aussi dès lors à ceux des surfaces toutes différentes pour lesquelles r’ et 9’ remplaçant r et 8, on aurait r — br et b8'— 6.

9. Occupons-nous actuellement du cas particulier où RR, est une constante , et pour distinguer le cas où la constante est positive de celui où elle est négative , soit

HR ea"

Je dis que toutes les surfaces que cette équation peut représenter, pour une valeur donnée de a, sont formées des mêmes éléments ds qu'une sphère de rayon a, dans le cas du signe +, et qu'une certaine surface de révolution (celle qu'engendre la courbe aux tangentes de longueur constante a, en tournant autour de son asymptote) dans le cas du signe —.

En effet, si l’on suppose la valeur de ds? mise sous la forme

ds? = À(da®+ df), on transformera , par la formule du n° #, notre équation dans celle-ci

d? log À d? log À ñe 2} Le d 2? d£? a? é qui, si l'on pose a+BV—1=u, A ON T1— 1, deviendra CADET AT 8, +

— DE ei (0 du dv 2 a?

J'ai trouvé, par des considérations dont je supprime le détail, que l'intégrale complète, avec deux fonctions arbitraires 9 (u) et 4 (v), de cette équation aux différences partielles , est

date! (u)ÿ'(0)e ER £ } + d (v 2 het #0] 4” (u) désignant la dérivée de o (u), et L'(v) celle de d(v). Pour vérifier ce fait, je tire d'abord, en passant aux logarithmes , log À — log (4a*) + log ?'(u) +log#'(r) +o(u) +4 (v)

o(u)+v(v — 2log[1 + e° #6],

d'ou Toi 1 . otw)+gt(6) ;, “e 1 + (u) + '(u) + —— & u p'(u) PART IEEE puis dog 2e Ou) gt(r) 2e PO (u)g/(s) up OP RAC, A pr TC ETC par conséquent d'logà __ 2e" Oo (u)f/(e) LV UE Fes e(u)+y iv JE ) et enfin d’logà À PERS a |

ce qu'il fallait démontrer.

La valeur de À conduit à celle de ds’. Mais d’abord rétablissons au lieu

de u et v leurs valeurs «+ BV—1,æ—GBV—:; o(u) et 4 (v) deviendront o(a+GV— 1), Ya —BV—1 ) et devront naturellement être des imagi naires conjuguées pour que À soit réelle. Posons donc

platBV—i)=s Her, daBVr) sc:

En différentiant, puis multipliant membre à membre, nous en conclurons g'{u)d'(v) (da + dB) = dé +de.

Par suite, et à cause de o(u) + 4 (v) = 26, on a

Prenez le signe supérieur, et vous aurez une expression de ds? commune à toutes les surfaces pour lesquelles RR, — 4° : prenez le signe inférieur, et vous aurez une expression de ds° commune à toutes les surfaces pour lesquelles RR, —— a’. Donc toute surface contenue dans un de ces groupes est appli-

cable sur une autre surface quelconque du mème groupe.

Maintenant, pour trouver les surfaces les plus simples, afin d'y rapporter les autres, soit b une constante à volonté, et remplacons + et £ par deux variables nouvelles 6 et r, qui soient telles que

2 abe° T'=)00, Re Ur l= 1e Ï| nous viendra

Or cette formule convient à l'élément linéaire ds d'une surface de révolution . pour laquelle 9 exprimerait la longitude et r le rayon du parallèle de chaque

point. On trouve aisément l'équation de cette surface

z= [ar ess Las )Hr°

où z est l’abscisse comptée sur l'axe de PET Cette même équation, bornée aux points d’un plan, est en coordonnées rectangles celle du méridien. Dans le cas des signes supérieurs, on peut faire b — r, et la surface devient, pour cette valeur de b , une sphère. Dans le cas des signes inférieurs, on peut faire b — 0; la courbe méridienne qui répond à cette hypothèse, et par conséquent à

équation — r?

dé = dr -———— ; à est la trajectoire orthogonale de la série des cercles de rayon &, dont les centres sont sur l’axe des z.Æn d’autres termes, c’est la courbe aux tangentes de longueur constante, comme le cercle, méridien de la sphère, est la ligne aux

normales de longueur constante : son équation peut en effet s’écrire

à rdz \° 1° —- a == tangente = #7 dr

Cette courbe, bien connue des géomètres, jouit d’une foule de propriétés curieuses. Elle a évidemment l’axe des z pour asymptote. On peut appliquer sur la surface de révolution qu'elle engendre (en tournant autour de cet axe) toutes les surfaces pour lesquelles RR, — — 4°, et sur la sphère toutes celles pour lesquelles RR, — a°.

10. Quoique ce qui précède, bien compris, me semble suflire, quelques lecteurs pourraient conserver des doutes sur la possibilité de réduire, dans tous les cas où RR, — — à”, l'expression de ds? à la forme qui convient à la surface de révolution simple que nous venons d'indiquer, savoir à la forme

: a? dr?

ds? —

red",

ou , si l’on veut, à celle-ci

qui résulte de la précédente en posant

a WE :

En effet , on ne voit pas clairement quel sens peuvent offrir, quand on y fait

b— o, les formules dont nous nous. sommes servis pour remplacer 7 par 6, et £ par r. Voici une autre méthode de transformation qui lèvera toutes Îles difficultés. Écrivez

k\1— Pal ds

w + QE = —, G+rV—1

1+ €° k étant une constante réelle quelconque, et vous vérifierez sans peine que-les valeurs de w et 8 en € et +, qui résultent de la décomposition de cette équation

imaginaire en deux équations réelles, donnent

2Ë 1 , e sé :

ETS (du —- dé?) —= ae (dé —+— dre}, w ce L'expression de ds? convenable à toute surface où RR; — — a”, et qui d'abord a été trouvée 4ae 25 ds — — (dé + dr), 26 \2 > de a)

est donc bien réellement réductible à la forme ds = — (dw° + d6°).

I y a plus : comme + et 6 n'entrent dans ds° que par les carrés de leurs diftérentielles, on pourrait ajouter à 7 une constante réelle L, et à 6 une autre constante g réelle aussi ; on pourrait encore changer le signe de 7 ou de 8, en un mot on pourrait prendre EE(r+h)V—r mn” k[1—e° ht |

Wa (0 ER) VERE En sans cesser d’avoir 4a°e°° a

(dE + dr?) = — (du? + dr°).

ANS »2 (re ‘) a

Les valeurs de w et 8 en £ et 7 qu'on peut employer, contenant trois constantes

ds ? —

arbitraires g, k,k, il faut en conclure que dans l'application de deux surfaces, du genre de celles dont nous nous occupons, l’une sur l’autre, on peut amener à volonté un point donné m' sur un point donné m, et même un second point »' sur un second point 7, pourvu que les distances géodésiques de m' à n'et de m à n soient égales. La même propriété a lieu pour les surfaces applicables sur la sphère : la symétrie de la sphère autour de son centre rend cela évident à priori.

"ss 000 =