COS

qui, en nommant @ la tangente de l’angle, donne pour équation générale de toutes les enveloppes produites par cette même génération

; dz \? dz\? à (a) AA it dy = à.

2. La caractéristique de la surface, c’est-à-dire la ligne de contact de cette surface avec chacune des enveloppées, est évidemment un des côtés du cône enveloppé, et par conséquent une droite perpendiculaire à la trace horizontale du plan tangent correspondant : elle est donc, comme dans le cas précédent, la ligne de plus grande

Y 2 A pente de la surface ; donc sa seconde équation sera de même

(b) (E)< — (SE) dr = o.

3. L'arète de rebroussement étant touchée par toutes les caractéristiques, et celles-ci étant des droites qui forment avec le plan horizontal un angle constant, et dont la tangente est &, il s'ensuit que, quelle que soit la courbe qui dirige le sommet du cône enve-

loppé, chacun des éléments de l’arête de rebroussement fait avec sa brolection horizontale un angle dont la tancente est &. On a donc 8 5

pour toutes les arêtes, et pour chacun de leurs points,

dz —— (#2

Var + dy:

L'équation générale des arêtes de rebroussement de toutes les

surfaces soumises à cette génération est donc (c) dz = & (dx + dy’).

Ces mêmes arêtes de rebroussement sont susceptibles d’une génération plus simple. En effet, après avoir mené dans un plan vertical quelconque une droite qui fasse avec l'horizon l'angle dont la tangente est &, si l’on plie ce plan sur la surface d’un cylindre vertical à base quelconque, la courbe à double courbure que la droite formera par son application sur la surface sera évidemment celle

qui est exprimée par l'équation (c).

De la caractérisüique.

Nous avons dit ($ VIT) que dans tous les cas l’équation (2) de la caractéristique pouvait être déduite analytiquement de l’équation (a) de l'enveloppe. Nous allons le démontrer.

Pour abréger, nous représenterons désormais par p et q les différences partielles de z, de manière que pour toute surface on ait

dz = pdx + qdy.

L’enveloppe touchant dans chacun de ses points une des enveloppées, et ces deux surfaces ayant pour leur point de contact le même plan tangent, il s'ensuit que pour ce point de contact les valeurs des cinq quantités +, y, z, p, q sont les mêmes, soit que l'on considère le point comme appartenant à l’enveloppe, soit qu’on le

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regarde comme appartenant à l’enveloppée : ainsi l'équation (&) de l'enveloppe, qui n’est, en général, composée que de ces cinq quantités, appartient non-seulement à toutes les enveloppes différentes soumises à la même génération, mais encore à toutes les enveloppées comprises sous toutes ces enveloppes. Considérons-la d’abord comme appartenant aux enveloppées.

Des cinq quantités +, y, z, p, q, les deux dernières, p et g, sont les seules par lesquelles peuvent différer entre elles les équations individuelles de deux enveloppées différentes; elles sont done les seules qui dépendent de la valeur de la quantité #, qui, pour une même enveloppe, indique la position de l’enveloppée individuelle. Or nous avons vu que, pour avoir l'équation de la caractéristique, il laut différentier l'équation de l’enveloppée, en regardant 4 comme seule variable. Done, si l’on représente par

Pdp + Qdq Lis

la différentielle de l'équation (a), prise en ne faisant varier que p et g, sa différentielle, prise en regardant « comme seule variable,

sera

dz = pdx + qdy,

or on a d'ailleurs

et par conséquent ‘dp à dq OPRTE de) da si (%) A TAN

one dp dq / ; ; donc, éliminant ( » (-°), on aura pour équation de la earacté-

da do ristique Pdy — Qdx = 0.

NN

C'est cette équation qui, dans tous les cas, produira l'équation (b) de la caractéristique. |

Considérons actuellement l'équation (a) comme appartenant aux enveloppes. Des cinq quantités x, y, z, p, q, les deux dernières sont encore les seules par lesquelles peuvent différer entre elles les équations individuelles de deux enveloppes différentes ; elles sont donc les seules qui dépendent de la forme de la fonction @ qui particularise l'enveloppe. Ainsi, en supposant que la fonction g renferme un paramètre 7 qui soit constant pour une mème enveloppe, et qui varie en passant d’une enveloppe à une autre, les quantités P; q sont, dans l’équation (a), les seules qui dépendent de la valeur de y. Or, si l’on voulait trouver la ligne d’intersection de deux enveloppes consécutives, il faudrait différentier l'équation (a) en regardant y comme seule variable; ce qui donnerait évidemment

nd) + e(4) ee

et parce que l'équation

dz = pdx + qdy