CENTS

en éliminant (L) (9), on aurait encore

donne également

Pdy — Qdx — 0,

qui est la même équation que celle que nous avons trouvée pour la caractéristique. Donc la caractéristique jouit de la double propriété d’être l'intersection de deux enveloppées consécutives inscrites dans la même enveloppe, et d’être l’intersection de deux enveloppes consécutives circonscrites à une même enveloppée.

CRM pa 2:

Il est facile de vérifier ce résultat sur toutes les surfaces dont nous avons étudié les générations ; nous allons le faire sur celles de révolution prises pour exemple.

Une surface de révolution est l'enveloppe d’une suite de sphères dont les centres sont sur l'axe, et dont les rayons sont variables suivant une certaine loi. Pour une même surface de révolution, c’està-dire pour une même enveloppe, la ligne suivant laquelle se coupent deux sphères consécutives est évidemment la circonférence d'un cerele dont le plan est perpendiculaire à l'axe, et dont le centre est dans l'axe. Ensuite, si l’on suppose que la courbe qui sert de méridien à la surface vienne à changer, il en résultera une nouvelle surface de révolution qui, si elle coupe la première, la coupera évidemment encore dans la circonférence d’un cercle dont le plan sera perpendiculaire à l’axe, et dont le centre sera dans l'axe. C’est cette circonférence de cercle, ayant pour axe une droite constante de position, qui est la caractéristique des surfaces de révolution autour de cette même droite, et qui est en même temps, comme on voit, l'intersection de deux sphères consécutives sous la même enveloppe, et celle de deux enveloppes consécutives autour de la même sphère.

SECONDE MANIÈRE, EN QUANTITÉS FINIES

L’équation d’une surface conique droite à base circulaire, dont le sommet est dans le plan horizontal, et dont l’axe est vertical, est

dans laquelle + et 8 sont les coordonnées du sommet, et a est la tangente de l'angle que le côté du cône fait avec le plan horizontal. Si l'équation de la courbe que le sommet doit parcourir dans le plan horizontal est représentée par

(he +

on aura B == Pa, JEr w , , ? , et l'équation générale de l’enveloppée sera

différentiant trois fois de suite, en regardant # comme seule va-

riable, on aura les trois autres équations

(B) (7 —pa)g'a+x—ax—o, (C) (y — pa)®"a—1—(p'a) — 0, (D) (Y — pa)g"a — 3p'aga —0,

desquelles on déduira, comme nous l'avons vu, l’équation de l’enveloppe, celles de sa caractéristique et celles de son arète de rebroussement.

S'il était question de déterminer la forme de la fonction +, de manière que l'enveloppe individuelle passät par une courbe donnée ou celgnit une surface donnée, on le ferait par la méthode qui a été exposée dans l’exemple des surfaces des canaux circulaires.

Nous terminerons ce qui regarde les surfaces dont la ligne de plus grande pente est une droite d’inclinaison constante, par exposer une propriété remarquable dont elles jouissent toutes relativement à leur quadrature. Le plan tangent de chacune de ces surfaces faisant toujours le même angle avec le plan horizontal, l'aire de chacun des éléments est à sa projection horizontale dans le rapport constant du rayon au cosinus de l’inclinaison du plan tangent. I suit de là que l'aire d'une portion finie de cette surface, terminée par une courbe quelconque, soumise ou non à la loi de continuité, est à sa projection horizontale dans le rapport du rayon au cosinus de l'inclinaison constante de la surface. Ainsi la quadrature de cette

surface ne dépend que de celle de l'aire d’une courbe plane. ô

ORAN dt

Cette propriété ne convient qu'aux surfaces que nous considérons ; elle pourrait être regardée comme un de leurs caractères, et

servir à leur définition.

CTRA

DE LA SURFACE COURBE QUI ENVELOPPE L'ESPACE PARCOURU PAR UNE SURFACE COURBE QUELCONQUE, CONSTANTE DE FIGURE, ET QUI, SANS TOURNER, SE MEUT LÉ LONG D’UNE COURBE QUELCONQUE A DOUBLE COURBURE.

Si l’on conçoit qu’une surface courbe quelconque donnée, et constante de figure, se meuve le long d’une courbe quelconque , sans éprouver de mouvement de rotation, c’est-à-dire de manière que deux plans non parallèles entre eux et fixés à la surface restent toujours chacun parallèle à lui-même pendant le mouvement, la surface qui enveloppera l’espace parcouru aura une propriété indépendante de la courbe qui dirigera le mouvement de l’enveloppée, et l'équation qui exprimera cette propriété sera celle de cette espèce de génération. C’est cette équation que nous nous proposons de trouver. Nous commencerons par.des cas simples. Nous supposerons d’abord que l’enveloppée se meuve le long d’une courbe plane tracée sur un des plans de projection, et 1° sur le plan des +, y, que nous regarderons comme horizontal.

La courbe qui dirige le mouvement de l’enveloppée étant plane et horizontale, si, par un point quelconque de l'enveloppe, on mène un plan tangent à cette surface ; puis si, considérant l’enveloppée dans sa position primitive, et pour laquelle on a son équation, on lui conçoit de même un plan tangent, mais parallèle au premier, le point de contact de ce dernier plan sera, pour l’enveloppée, celui

qe qui, par le mouvement, doit venir se confondre avec le point pris sur l'enveloppe. Ces deux points de contact doivent donc être à la même hauteur, quelle que soit d’ailleurs la courbe qui dirige le mouvement. Cela posé, représentons l’équation donnée de l’enveloppée, considérée dans sa position primitive, par

et représentons par F'{x, y) et F’{x, y) les coefficients de dx et dy dans la différentielle de cette équation, de manière que l’on ait, par la différentiation,

de IE (S; ÿ) dx + F”(x, hi dis

enfin, soient x’, y”, z’ les coordonnées du point de contact de l’enveloppée, +, y, z étant celles du point de contact de l'enveloppe,

on aura

Red ip e0 à le parallélisme des deux plans tangents donnera les deux équations BE TOR" (EE 7°),

et les déux points de contact devant être à la même hauteur, on

aura

Ces quatre équations ayant lieu simultanément pour tous les points de l’enveloppe, c’est-à-dire quelles que soient les valeurs de æ", y", 2’, il s'ensuit que, si l’on élimine ces trois quantités entre les quatre équations, l'équation résultante, qui sera nécessairement de la forme

(a) j f(z, P q) UE

sera celle de l'enveloppe demandée.

M Vies

Lorsque nous traiterons du calcul intégral des équations aux différences partielles, nous ferons voir que, réciproquement, toute

équation de la forme NS ARNO

est celle de la surface qui enveloppe l’espace parcouru par une surface courbe, constante de figure, et qui, sans tourner, se meut le long d’une courbe quelconque plane et horizontale. L'objet de ce calcul est l’opération inverse de celle que nous venons de faire ; 1l consiste à trouver la forme de la fonction F supposée inconnue, d’après celle de la fonction f supposée donnée; car, d’après ce que nous avons vu précédemment, l’équation de l’enveloppe en quantités finies est évidemment le résultat de l’élimination de l’indéter-

minée « entre l’équation (A) z—F(x —u, y — pa),

et sa différentielle (B), prise en regardant + comme seule variable; ga étant une fonction arbitraire telle que y = 9x est l’équation de la courbe quelconque horizontale qui dirige le mouvement de l’enveloppée.

Si l’équation

est donnée, c’est-à-dire si l’on connaît la forme de la fonction f, il est facile de trouver l'équation de la caractéristique. Pour cela, nous avons vu que si la différentielle de cette équation, prise en ne faisant varier que p et g, est

Pdp + Qdq = 0, l'équation de la caractéristique est

(b) Pdy — Q dx — 0.

Mais, dans le cas dont il s’agit, on peut avoir l'équation de la caractéristique indépendamment de l’équation (a) et de la forme de la fonction f. En effet, si l’on circonscrit à l'enveloppe une surface cylindrique horizontale, et qui la touche en une ligne courbe, cette courbe de contact sera évidemment la caractéristique demandée; car, étant tangente à l’enveloppe, elle sera aussi tangente à deux enveloppées consécutives, et elle comprendra la courbe suivant laquelle ces deux enveloppées se coupent. Or, l'équation de la sur-

face cylindrique horizontale est, en général, Pre.

# étant une constante qui indique la direction de la surface eylindrique : done la caractéristique devant se trouver sur cette surface,

on aura pour elle cette seconde équation Hi:

dans laquelle est la constante dont la valeur particularise la position de cette courbe.

En raisonnant d’une manière analogue, on trouvera que si la ligne qui dirige le mouvement de l’enveloppée est une courbe tracée dans le plan des x, z, l'équation de l'enveloppe sera le ré-

sultat de l’élimination des deux quantités x”, y” entre les trois

équations suivantes :

FRE ON ERA q=F"(x, 7), = FT)

et qu’elle sera par conséquent de la forme

(a) fr, pq) = 0;

dans laquelle la forme de la fonction f n’est pas la même que celle

du cas précédent. Réciproquement, toute équation de la forme de la précédente est celle de la surface qui enveloppe l’espace parcouru par une surface courbe, constante de figure, et qui, sans tourner, se meut le long d’une courbe plane tracée dans le plan des x, z.

L'équation de la caractéristique se trouve de même indépendamment de la forme de la fonction f; car cette courbe est, sur-une surface cylindrique, parallèle au plan des +, 3, et qui est circonscrite à l'enveloppe. Son équation est donc

dans laquelle est une constante qui particularise chaque caractéristique.

L'équation de l'enveloppe en quantités finies est évidemment le résultat de l'élimination de l’indéterminée x entre l'équation

et sa différentielle (B), prise en regardant & comme seule variable. De même, si la courbe qui dirige le mouvement de l’enveloppée était tracée dans le plan des y, z, l'équation de l'enveloppe serait le résultat de l'élimination des deux quantités x”, y” entre les trois équations 6 PE F” (x’, dE 4 = F” (x, y’);