A CES
et l'équation de l'enveloppe en quantités finies serait le résultat de l'élimination de l’indéterminée x entre l’équation
et sa différentielle (B), prise en regardant 4 comme seule variable. Passons enfin au cas général. Supposons que la courbe qui dirige
le mouvement de l’enveloppée soit tracée sur une surface courbe
quelconque donnée, et dont l’équation soit représentée par
1 he) 0:
: T'indiquant une fonction donnée des trois variables x, y, z. L'’enveloppée n'ayant aucun mouvement de rotation, chacun de ses points décrit le même are d’une même courbe; mais cet are, pour les différents points, est placé, sans tourner, dans différentes parties de l’espace. Si donc on mène à l'enveloppe, et à l’enveloppée considérée dans sa position primitive, deux plans tangents parallèles entre eux, ce qui donnera les deux équations
le point de contact de l’enveloppée sera celui de tous les points de cette surface qui, dans.le mouvement, viendra se confondre avec le point de contact de l'enveloppe; et les trois quantités x — x”, y — y’, z — z/ seront respectivement égales aux trois coordonnées d’un des points de la surface sur laquelle est tracée la courbe qui dirige le mouvement. On aura donc entre ces trois quantités l'équation | T(x—x, ÿy—Y',z2—3)—0;
on a d’ailleurs, par supposition, entre les trois coordonnées du
point de contact de l’enveloppée, l'équation
ar o0).
MTS,
Ces quatre équations devant avoir lieu simultanément pour tous les points de l'enveloppe, par conséquent pour tous ceux de l’enveloppée, c’est-à-dire quelles que soient les valeurs de x”, y”, x", il s'ensuit que, si l’on élimine ces trois quantités, l'équation résultante sera en æ, y, 3, p et q celle de l'enveloppe demandée.
Supposons que des deux premières équations et de la dernière, on ait tiré en p et q les valeurs de x”, y”, z', et que ces valeurs soient
en les substituant dans la troisième, on trouve que l'équation de l'enveloppe peut toujours être mise sous cette forme
(a) Tfx—f(p,g), » —f(p, q), 2 —F(p, 9)]=0,
dans laquelle les trois fonctions f, /, F ne sont point indépendantes, mais sont liées entre elles par une loi qu'il est facile de découvrir.
En effet, quelles que soient et la nature de l’enveloppée et celle de la surface sur laquelle est tracée la courbe qui dirige le mouvement, c’est-à-dire quelles que soient les formes des fonctions F et Tr, il est évident que des trois quantités æ — x", y —7", z—z"
# 3 ou des trois suivantes, qui leur sont respectivement égales, 2 — F(p, q), Y —f(p, q), z — F(p, q), Si deux quelconques sont supposées constantes, ce qui fixe le point que l’on considère sur l'enveloppe, la troisième est aussi nécessairement constante. Il faut que si les différentielles de deux d’entre elles sont égales à zéro,
celle de la troisième soit aussi égale à zéro, et par conséquent que
l'on ait en même temps les trois équations suivantes : dx — df(p, 4) = 0, dy — df(p; 4) = 0;
p dx + qdy — dF(p, q) = 0;
il faut d’ailleurs que ces trois équations aient lieu, quelles que soient les valeurs de dx et dy, qui sont arbitraires : donc, si entre ces trois équations on élimine dx et dy, l'équation résultante
dF(p,q)=pdf(p, q) + qdf(p; 4)
exprimera la condition qui lie entre elles les formes des trois fonc- HOSNCOf, F.
Done, si l’on a une équation aux différences partielles du premier ordre de la forme
(a) Tfæ—f(p,g), 7 —f(p,9), z—F(p,9)]=0,
dans laquelle T indique une fonction quelconque donnée de trois quantités, mais dans laquelle les trois fonctions f, f, F satisfassent
d’ailleurs à la condition suivante :
dF = pdf + qdf,
cette équation sera celle de la surface qui enveloppe l’espace parcouru par une autre surface courbe, constante de figure, et qui, sans tourner, se meut le long d’une courbe quelconque tracée sur une troisième surface courbe donnée, l'équation de cette dernière
surface étant re 10;
Quant à l'équation de l’enveloppée, il est facile de la déduire de l'équation (a) de l'enveloppe supposée donnée. En effet, l'enve-
loppe peut toujours coïncider avec l’enveloppée; elle y coïncide lorsque pour tous ses points on a en même temps
TEL —0; Y—y' =0, dj de" i}.
ou, ce qui revient au même, lorsqu'on a les trois équations suivantes :
2 — f(p, qg) = 0,
mi FD, Q==0:
Ces trois équations devant alors avoir lieu pour tous les points de l'enveloppe, et par conséquent quelles que soient les valeurs de p et de g, il s'ensuit que, si l’on élimine entre elles ces deux quantités, l'équation en x, y, z que l’on obtiendra sera celle
de l’enveloppée considérée dans sa position primitive.
Cette équation étant obtenue, si l’on diminue les coordonnées z, y, æ des quantités respectives &, ga, | «, dans lesquelles ® et 4 représentent des fonctions arbitraires, ce qui donnera
z—a—F(x— qu, y — da),
on aura l'équation de l’enveloppée transportée le long d’une courbe à double courbure quelconque, jusqu’en un point de cette courbe qui correspond à z — 4; puis, si l’on élimine une des deux fonctions @æ, da au moyen de l’équation
T(ga, da, a) — 0,
la courbe qui dirige le mouvement sera assujettie à être sur la surface donnée; enfin, si l’on élimine 4 de ce résultat au moyen de sa différentielle prise en regardant # comme seule variable, on aura
TU
en quantités finies l'équation de l'enveloppe, et par conséquent l'intégrale de l'équation (a).
Jusqu'ici nous avons supposé que la courbe qui dirige le mouvement de l’enveloppée était tracée sur une surface courbe donnée: si cette courbe était totalement arbitraire dans ses deux projections, la génération de l'enveloppe pourrait de même être exprimée; mais elle ne le pourrait être indépendamment de toute fonction arbitraire qu’au moyen des différences partielles du second ordre. Nous nous occuperons incessamment de ce genre de différences, et nous aurons occasion de traiter cette même surface d’une manière encore plus générale.
Comme’ces recherches commencent à devenir compliquées, nous croyons devoir les éclaircir par un exemple simple.
EXEMPLE
Etant donnée une surface de révolution autour de l'axe des z,
et dont l'équation sera, comme nous l'avons vu,
IT éndiquant une fonction donnée, et une courbe quelconque étant tracée sur cette surface; si l’on suppose qu'une sphère de rayon constant se meuve de manière que son centre décriwe cette courbe, trouver l'équation de la surface qui enveloppe l'espace parcouru par la sphère, indépendamment de la nature de la courbe parcourue par le centre.
Si l’on représente par a le ravon constant de la sphère envelop-
Ë | pée, l’équation de la surface de cette sphère, considérée dans sa position primitive, sera
o 12 2 21e LOUE A
ED OU les deux équations qui expriment que les plans tangents à la sphère et à l'enveloppe sont parallèles entre eux seront.
mc ts
P er 9 Var 7" (91 = id ts Vache
celle qui exprime que les deux points de contact coincideront dans
un instant du mouvement sera = joue FAUNE) ne ANDRE 3 =nf(e— 2) + (y —y)];
et éliminant +”, y", z" entre ces quatre équations, on aura l’équa-
tion demandée.
Si l’on tire des trois premières les valeurs de +”, y”, =’, on trouvera — D D ARENA AMEL ER VI+p+ — (1 ‘4 = nie Vi p° + q°
! (a , VERTE À sci VIE PEUR
donc, en faisant, pour abréger,
RE ENT tt à
l'équation de l'enveloppe demandée sera
PE — GP REA TO ni =")
Cette équation est de la forme de l’équation («) du cas général; car,
pour ce cas particulier, on a
et en exécutant les différentiations indiquées, on trouve que l’équa-
tion de condition
3404 ap aq de == A 1 Are = qd.
est identique.
Actuellement, si l’équation aux différences partielles que l'on vient de trouver était proposée, et s’il fallait en déduire, en quantités finies, les équations de l’enveloppée et de l'enveloppe supposées inconnues, on aurait d’abord celle de l’enveloppée, en éli-
minant p et g des trois équations
dd +, RE ET, «a
