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était question de trouver les équations de la surface individuelle qui passe par deux courbes données, ou de celle qui embrasse deux surfaces courbes données, en les touchant chacune suivant une ligne courbe, on le ferait par le procédé que nous avons exposé en parlant de la surface précédente.

Nous terminerons en faisant observer que la surface du biais passé et celle de l’arrière-voussure de Marseille, dont nous nous sommes occupé dans la coupe des pierres, sont l’une et l’autre un cas particulier de celle dont il s’agit ici; car elles sont toutes deux engendrées par le mouvement d’une droite qui passe toujours par l’axe de la porte, et qui d’ailleurs s’appuie dans son mouvement sur deux cintres donnés arbitrairement.

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DES SURFACES DÉVELOPPABLES.

Les surfaces développables sont celles qui, étant supposées flexibles et inextensibles, sont de nature à pouvoir s'appliquer sur un plan, au moyen d’une simple flexion , et le toucher alors dans tous leurs points, sans rupture et sans duplicature. Les surfaces cylindriques à bases quelconques, et les surfaces coniques , sont développables ; mais elles ne sont qu'un cas infiniment particulier de ce genre de surfaces, qui ont toutes un caractère conmmun où une propriété exclusive. C’est ce caractère ou cette propriété dont nous nous proposons de trouver l'expression analytique, 1° en différences partielles du second ordre; 2° en différences partielles du premier ordre ; 3° en quantités finies.

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On sait qu'il faut trois conditions pour fixer dans l’espace la position d’un plan, et que ces trois conditions servent à déterminer les trois constantes À, B, C, qui entrent dans l'équation du plan. Si de ces trois conditions, deux étant supposées invariables, la troisième est regardée comme pouvant varier suivant une certaine loi; par exemple, si dans l'expression de cette condition entre une certaine quantité 4 susceptible d’avoir toutes les valeurs possibles : tant que cette quantité aura la même valeur, la position du plan sera fixe dans l’espace; et quand x variera, la position du plan changera. Supposons donc que la quantité + prenne successivement toutes les valeurs possibles depuis — jusqu'à +, on aura une suite infinie de plans différents, qui tous satisferont aux deux conditions invariables, et qui ne différeront entre eux que par la troisième condition. Cela posé, l’enveloppe de tous ces plans, c'est-à-dire la surface qui termine la partie de l’espace qu'ils occupent, sera, en général, une surface développable. Avant que de le démontrer, éclaircissons ce qui précède par quelques exemples.

1. Soit donnée une courbe à double courbure quelconque, dont les équations soient représentées par x —fz, y —fz, f et f indiquant des fonctions données. Si sur cette courbe on considère un point pour lequel on ait z—%, les deux autres coordonnées de ce point seront x — fx, y — fx. Cela posé, si l’on conçoit par ce point le plan normal à la courbe, ce plan sera déterminé de position; car il passera par un point déterminé, ce qui est une condition; puis il sera normal à la courbe, ce qui équivaut aux deux conditions de passer par deux normales différentes. Les trois constantes À, B, C, qui entreront dans l'équation de ce plan seront donc déterminées, mais, en général, elles seront toutes trois des fonctions de #. En effet, si l’on donne à x une autre valeur, c’est-à-dire si l’on considère un nouveau point de la courbe, le plan normal qui passera par ce point ne sera pas parallèle au pre-

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mier; les trois coefficients A, B, GC de son équation n'auront done pas les mêmes valeurs que pour le premier : done ces coefficients varient quand la quantité 4 varie; donc ils sont, en général, des fonctions de «x. Actuellement, si l’on donne à x toutes les valeurs possibles, c’est-à-dire si l’on opère de la même manière sur tous les points de la courbe, on aura une suite infinie de plans différents qui satisferont tous à la condition double d’être normaux à la courbe; et l'enveloppe de tous ces plans, c’est-à-dire la surface qui termine la partie de l’espace qu’ils occupent, sera, en général, une surface développable. Proposons encore un autre exemple.

>. Deux surfaces courbes étant données, si l’on se proposait de mener un plan tangent en même temps à ces deux surfaces, la question ne serait pas déterminée, parce qu’on n’indiquerait que deux conditions pour ce plan, qui pourrait encore satisfaire à une troisième condition arbitraire, comme, par exemple, de passer par un point donné. Supposons que ce point soit pris sur une droite donnée de position et corresponde sur cette droite à z — «. Tant que la valeur de x sera la même, c’est-à-dire tant que le point de la droite par lequel doit passer le plan tangent aux deux surfaces sera le même, ce plan tangent sera fixe; mais si ce point vient à changer de position sur la droite, c’est-à-dire si « varie, le plan tangent aux deux surfaces ne sera plus le même. Cela posé, si l’on donne successivement à « toutes les valeurs possibles depuis d—— Jusqu'à æa—+,.cest-à-dire si par tous les points de la droite donnée on conçoit des plans tangents en même temps aux deux surfaces, on aura une suite infinie de plans différents, qui satisferont tous à deux: conditions invariables, et l'enveloppe de tous ces plans sera, en général, une surface développable.

Il n’est peut-être pas inutile d'observer ici que chacun dés deux exemples que nous venons de rapporter présente une définition

complète des surfaces dont il s’agit; en sorte qu’il n’y en a aucune qui ne soit comprise en même temps dans l’une et dans l’autre de ces deux divisions.

L’enveloppée étant ici un plan variable de position, il est clair que la caractéristique de l'enveloppe, c’est-à-dire l’intersection de deux enveloppées consécutives, est une ligne droite: ainsi l’enveloppe demandée est engendrée par le mouvement d’une ligne droite; mais, de plus, deux caractéristiques consécutives étant toujours sur une même enveloppée, il s'ensuit que de toutes les positions de la droite génératrice, deux quelconques consécutives sont dans un même plan, et se coupent quelque part en un point. La suite de ces points d’intersection consécutifs forme une arête de rebroussement à double courbure, à laquelle la génératrice est constamment tangente. Les surfaces dont nous nous occupons peuvent donc être encore regardées comme engendrées par le mouvement d’une droite qui ne cesse pas d’être tangente à une même courbe à double courbure, et cette définition, qui les comprend encore toutes, est de la même généralité que les deux premières que nous avons déjà données. Faisons voir actuellement que ces surfaces sont développables.

Deux caractéristiques consécutives étant toujours dans un même plan, l'enveloppe demandée peut toujours être regardée comme composée d'éléments plans d’une longueur indéfinie, d’une largeur infiniment petite, et qui se coupent consécutivement en lignes droites. Cela posé, on peut toujours concevoir que le premier de ces éléments tourne autour de sa droite d’intersection avec la seconde, comme charnière, jusqu’à ce qu’il soit dans le même plan que le second; puis que le système des deux premiers éléments tourne autour de la droite d’intersection du second et du troisième, et ainsi de suite. Si l’on conçoit que cette opération soit continuée pour tous les éléments, il est évident qu’ils seront alors

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dans le même plan, et que la surface sera développée sans rupture et sans duplicature. Il s’agit actuellement d’avoir l’expression

analytique de cette propriété.

Les surfaces développables pouvant être regardées comme composées d'éléments plans d’une longueur indéfinie, il est clair qu’elles jouissent de cette propriété, que les coordonnées x, y, z du point de contact peuvent varier sans que le plan tangent change de position. Cela posé, si l’on ordonne l’équation du plan tangent

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Dar rapport aux coordonnées x’, y’, =! du point général de ce Ï PI NÉS

plan, on aura z' Du ne qY" nee mn en

il faut donc que les coordonnées x, y, z puissent varier, sans que les coefficients p, g, z — px — qy de l'équation du plan tangent varient, c'est-à-dire que les différentielles de ces trois coefficients doivent être en même temps chacune égales à zéro. Or, si les différentielles de deux quelconques de ces trois quantités sont nulles, celle de la troisième est aussi nulle; ce qu'il est facile de vérifier par la différentiation. Donc, en égalant à zéro les différentielles des trois coefficients, on n’a que les deux équations

rdx + sdy — 0, sdx + tdy — 0,

des. y + dans lesquelles la valeur de + indique la projection sur le plan

des x, y, de la direction du point de contact. Ainsi, dans toute surface développable, et pour chacun de ses points, il existe une

dy : . . A / . TEE valeur de +; qui satisfait en même temps aux deux équations précé-

dentes. Ces deux équations doivent donc avoir lieu, quelle que soit

| : te d LUE ; cette valeur : donc, si l’on élimine se le résultat de l'élimination

rt—Ss" —0 sera aux différences partielles secondes l'équation générale des surfaces développables.

Nous avons vu qu’étant proposée une équation aux différences

partielles secondes, si sa différentielle, prise en regardant r, s,4 comme seules variables, est

Rar#-Sds=Tdt=0; l'équation de la caractéristique de la surface est Rdy® — Sdxdy + Tdx*= 0.

Or, dans le cas présent, nous avons R—= ft; SRE Ar ue ”

donc l'équation de la caractéristique des surfaces développables

est rdx” + 2sdxdy + tdy* — 0;

d ? , . 2 , , mais parce que l’on a s — V rt, cette équation est un carré parfait dont la racine est

dx Vr + dy Vi O;

donc, dans les surfaces développables, pour chacun de leurs points, les deux branches de la caractéristique se confondent et se réduisent à une seule. De plus, l’équation |

rdx? + 2sdxdy + tdy? —0

est la même que celle-ei,

ARE 0

qui appartient, en général, à un plan. Donc la caractéristique des surfaces développables est une ligne plane. Nous allons voir, dans un moment, que c’est une ligne droite qui n’est autre chose que la

génératrice elle-même.