ET
Le point de contact pouvant varier sur les surfaces développables sans que le plan tangent change de position, les trois coetficients p, q, z — px — qy de l'équation de ce plan sont donc constants ensemble et variables ensemble : ainsi, l’un quelconque d’entre eux est une fonction des deux autres. Mais nous avons vu que si deux de ces coefficients sont constants, le troisième l’est aussi: donc, dans les surfaces développables, si un de ces coefficents est constant, les deux autres le sont aussi; donc deux quelconques d’entre eux sont fonctions du troisième ; done deux des trois équations
P—=®(z— px — qy), q = (3 — px — qy),
dont une quelconque est une suite nécessaire des deux autres, sont aux différences partielles premières celles des surfaces développables.
Si les fonctions @, À, 7 sont arbitraires, chacune de ces trois équations est de la même généralité que celle aux différences secondes rt — s° — 0, et en est l’intégrale première.
Il suit de là que l’équation aux différences partielles du premier
ordre
F[p,q,2—px—qy|]—=o,
dans laquelle F indique une fonction quelconque de trois quan-
Sc tités, appartient, en général, à une surface développable. Il est facile de vérifier que les équations que nous avons trouvées pour les surfaces cylindriques, pour les surfaces coniques et pour les enveloppes de surfaces coniques dont le sommet se meut dans un, plan horizontal, sont comprises dans la précédente, et que les surfaces auxquelles elles appartiennent sont par conséquent développables.
Si l’une des équations aux différences partielles que nous venons
de trouver était proposée, par exemple PE
et s’il fallait trouver l’équation de l’arête de rebroussement de la surface à laquelle elle appartient, il faudrait d’abord trouver l'équation de la caractéristique, qui, en faisant d.7q=—7'q.dq, est
dy + dxr'q = 0, et éliminer p et g entre ces deux équations et la suivante : dz = pdx + qdy.
Mais ces trois équations ne renferment que les cinq quantités p, q, dx, dy, dz: donc, quelles que soient les formes de la fonction 7 et du coefficient 7° de sa différentielle, lorsqu'on aura éliminé les deux premières quantités p, q, le résultat ne sera composé que des trois dernières : donc l'équation aux différences ordinaires de l’arète de rebroussement est nécessairement de la forme suivante :
t(dr dy ide)
+ . PR: r .
Nous verrons, par la suite, que réciproquement toute équation
aux différences ordinaires de cette forme, c’est-à-dire dans laquelle
il n'entre que les quantités dx, dy, dz, est toujours celle de l’arète
de rebroussement d'une certaine surface développable, dont la nature est déterminée par la forme de la fonction donnée f.
Une surface développable étant l'enveloppe de l’espace parcouru par un plan dont la position varie en vertu de la variation d’une seule des trois conditions qui la déterminent; et par conséquent des trois constantes qui entrent dans l'équation de ce plan, deux quelconques étant toujours fonctions de la troisième, il s'ensuit que cette équation peut toujours être mise sous la forme
(A) Z— XQa + Yda+ a,
dans laquelle la quantité 4 qui détermine la position du plan est constante pour la même position, et variable d’une position à une autre. Si, considérant cette équation comme celle d’une enveloppée, on la différentie deux fois de suite en regardant « comme seule variable, on aura
(B) XPa+YŸaæa+i—o, (C) xQ"a + Y'a — 0.
Cela posé :
1. Regardant « comme une indéterminée dont la valeur variable est indifférente, le résultat de l'élimination de cette quantité entre les deux équations (A), (B) sera, en quantités finies, l’équation générale des surfaces développables; en sorte que si les deux fonctions @ et À sont regardées comme arbitraires, le système de ces deux équations est de la même généralité que l'équation aux différences partielles secondes rt — s? — 0, et que chacune des équations aux différences premières.
2. Regardant 4 comme une constante arbitraire qui doive subsister, les deux équations (A), (B) sont celles de la caractéristique de
En. ee
Le
la surface, ligne dont la position est déterminée par la valeur de la constante &. Des deux équations (A), (B), la première est celle d’un plan, la seconde est celle d’une droite tracée sur le plan des x, y. Donc la caractéristique est une ligne droite, et n’est autre chose que la génératrice elle-même.
3. Enfin, regardant encore 4 comme une indéterminée, si l’on élimine cette quantité entre les trois équations (A), (B), (G), il résultera, en +, y, z, deux équations, qui seront celles de l’arête de rebroussement de la surface.
Nous avons vu que les surfaces développables sont susceptibles d'une autre génération, et qu’elles peuvent être engendrées par le mouvement d’une droite qui ne cesse pas d’être tangente à une
même courbe à double courbure. L'expression de cette propriété
donne pour ces surfaces des équations en quantités finies qui ne sont pas de la même forme que les précédentes, et qu'il s’agit de trouver.
Soient y — @z, à — 3 les équations de la courbe donnée, à laquelle la génératrice doit être constamment tangente, et qui, d’après ce qui précède, sera l’arête de rebroussement de la surface; si l’on considère sur cette courbe un point qui corresponde à :—%, les deux coordonnées de ce point seront y = ga, x = 44; puis, si l’on considère ce point comme celui de contact de la tangente, les deux équations de cette tangente seront
Y—qpa—(z— a)pa, x—da—(z— a)\'a,
dans lesquelles & est une quantité constante pour chaque tangente, variable d’une tangente à une autre, et dont la valeur détermine dans l’espace la position de cette droite. Quelle que soit la valeur de #, les deux équations précédentes sont donc toutes deux satisfaites pour les points de la surface. Donc, si l’on élimine # entre ces deux équations, le résultat de l'élimination sera, en +, y, z, l'équation générale des surfaces développables. Si les fonctions @
pré.
us Pie
et «L sont regardées comme-susceptibles de toutes les formes possibles, soumises ou non à la loi de continuité, ce résultat «est de la
même sénéralité que tous les précédents.
Trouver l'équation de la surface développable qui passe en méme temps par deux courbes. à double courbure données
dans l'espace.
La surface développable passera évidemment par les deux courbes données, si le plan mobile dont elle est l'enveloppe est, dans toutes ses positions, tangent aux deux courbes, c’est-à-dire s’il passe toujours en même temps par une tangente à la premiere courbe, et par une tangente à la seconde. Il s’agit donc de déter-
miner, dans l’équation 3 — x@a + y« + x de ce plan mobile, quelles doivent être les formes des deux fonctions @ et 4, pour que ces conditions soient toutes deux satisfaites, quelle que soit la valeur de &.
Pour cela, si, représentant par y = Fz, x — fz les deux équations données de la première courbe, on prend sur cette courbe un point correspondant à z — B, les deux autres coordonnées de ce point seront y — F£, x —ff; et si l’on considère ce point comme celui de contact d’une tangente, les deux équations de cette tangente seront
(A) Ty — FB = (:—6)F'E,
dans lesquelles 6 est une constante qui particularise la position de la tangente.
De même, si, représentant par y = (F)z, x — /: les équations F2 É
—- LOORSS
données de la seconde courbe, on prend sur cette courbe un point de contact correspondant à : — y, les équations de la tangente à cette courbe seront A es u :
, 14 (D) DJ y = \2 7)
dans lesquelles y est une autre constante qui particularise la position
de cette seconde tangente.
Cela posé, si le plan mobile passe par le point de contact de la
première courbe, son équation sera
(Œ) 2—p=(x—fé)ge + (y —F£)de, ce qui donne, entre z et B, la relation suivante :
(F) B — fBpa — FBda— a.
Pareillement, si ce plan doit passer par le point de contact de
la seconde courbe, son équation sera
(G) z—y=(x— fy)gae+ [y —(F)yl+e, ce qui donne, entre # et y, l’autre relation (H) y — fyva — (Fyde = «.
De plus, si le plan mobile doit passer par la tangente à la première courbe, il faut que les trois équations (A), (B), (E), qui sont celles du plan et de la tangente, soient satisfaites, quelles que soient
les valeurs de x, y, z. Donc, si l’on élimine entre ces trois équations rm LE x'— ff 67 z—6
(J) L'Boa + F'Rda— 1
les deux quantités 7 l'équation résultante
établira entre les fonctions 6x, 4 et la quantité £ la relation pour que cette condition soit remplie.
