XIII

DE LA SURFACE COURBE QUI ENVELOPPE L'ESPACE PARCOURU PAR UNE AUTRE SURFACE DONNÉE, CONSTANTE DE FIGURE, ET QUI, SANS TOURNER, SE MEUT LE LONG D'UNE COURBE A DOUBLE COURBURE ENTIÈREMENT ARBITRAIRE.

Lorsque, dans le S IX, nous nous sommes occupé de cette surface, nous avons supposé que la courbe qui dirigeait le mouvement de l’enveloppée était tracée sur une surface donnée, en sorte que, des trois projections de cette courbe, il n’y en avait qu'une seule qui füt arbitraire. La génération de cette surface pouvait être exprimée par une équation aux différences partielles du premier ordre, et son expression en quantités finies ne contenait qu'une seule fonction arbitraire. Nous supposons ici que la directrice soit entièrement arbitraire, et nous nous proposons d'exprimer cette sénération, quelles que puissent être l’une et l’autre des deux projections de la directrice; ce qui peut se faire, ou par une équation aux différences partielles du second ordre, ou par une équation aux différences partielles du premier ordre, et qui comprendra une fonction arbitraire, et cela de deux manières essentiellement différentes; ou, enfin, par une équation en quantités finies, mais qui comprendra deux fonctions arbitraires.

Nous n’entrerons ici dans aucun détail de définitions; nous renvoyons pour cet objet au & IX. NS

Lis

Soit z= F(x, y) l'équation donnée de l'enveloppée considérée dans son état primitif, puis, ayant pris sur l'enveloppe un point * de contact dont les coordonnées soient x, y, 3, et ayant mené par

2SMO00

ce point un plan tangent à l'enveloppe, concevons à l’enveloppée un plan tangent parallèle au premier; et soient x”, y”, z° les coordonnées du point de contact de ce second plan, il est évident que l’on aura

de F ve Ÿ); et, à cause du parallélisme des deux plans tangents à l'enveloppe et à l’enveloppée, on aura ainsi les deux équations suivantes :

D =ENEEEE qu AUX 70)

+ ON , Q FES tirant des deux dernières équations les valeurs de æ’et y” en p et 4,

que nous représenterons par

æ'={(p;q), Y = (p;4); et les substituant dans la précédente, on aura = F(p,q);

les trois fonctions f, f, F ayant entre elles une relation telle que l'équation

dF = pdf + qdf est toujours satisfaite.

Cela posé, il est évident que le point de contact de lenveloppée, et dont les coordonnées sont x”, y”, z”, est celui de cette surface qui, dans le mouvement, vient se confondre avec le point de contact de l'enveloppe, et dont les coordonnées sont x, y, z; les trois quantités æ — x", y—y",z—32",ou les trois suivantes x — f(p, q), Y —F(p; 4), z — F(p,q), qui leur sont respectivement égales, sont donc les trois coordonnées de l’arc de la directrice parcouru par ce point. De plus, si sur l'enveloppe, et dans une direction quelconque, on prend un point infiniment voisin du premier, ce nouveau point aura son correspondant sur l’enveloppée, et l'arc parcouru par ce dernier sera de même étendue que l'arc parcouru

par le premier; car ces deux ares seront tous deux compris entre les deux plans tangents parallèles entre eux. Donc les trois quanütés æ — f(p, q), y —f(p, q), z — F(p,q) seront toutes les

trois constantes, et l’on aura en même temps les trois équations

dx — df(p,q) =,

(p,4) =, dz — dF\p, q) = 0;

mais, par la relation qu'ont entre elles les trois fonctions f, f, #, deux de ces équations ayant lieu, la troisième a aussi lieu nécessairement, comme on peut le vérifier par la différentiation : done, de ces trois équations il suffit d’en poser deux quelconques. Nous emploierons les deux premières comme les plus simples, ce qui donne, en développant,

dx — (rdx + sdy)f'(p, q)—(sdx +tdy)f” (p, q) —=0 dy — (re + sd) f'(p, 9) — (sde + td) f"(p, 9) =

ces deux équations devant avoir lieu quelle que soit la direction suivant laquelle on passe du premier point de contact de l’enve- “Es au second, et par conséquent indépendamment de la valeur