le résultat

(rés) (FT —1"f") fl —s(Ê HS) —1tf" +i—o

sera, aux différences secondes, l'équation de l'enveloppe demandée.

Nous pourrions en rester là par rapport à cette équation; mais la relation qu'ont entre elles les deux fonctions f, /, permet de la mettre sous une forme plus symétrique, sous laquelle il est néces-

saire de la connaître.

En effet, ayant mis l’équation | dF = pdf + qdf sous la forme suivante dF=(pf+ 4) dp +(p{"+aqf")dg, et de ce que l’on a généralement (dE) (48) dpdq dgdp

il s'ensuit que l’on doit avoir aussi

ÉCÉSRIE ECE TE q lp

ce qui, réduction faite, donne fr Le 7 4 ai. y donc les fonctions f et f peuvent être regardées comme les diftérences partielles, par rapport à p et à q, d’une autre fonction de p

et g que nous représenterons par l'(p, q); en sorte que si, pour abréger, on fait

dar dar dar ' (or )ERN ne)

LR PS, JUET,;

on aura

et l'équation aux différences secondes pourra être mise sous la forme suivante

(ré— S)(RT — S?) — 7R — 258 — 4T + 1 — 0, dans laquelle les trois quantités R, S, T sont en p et g les diffé-

rences partielles du second ordre de la quantité T(p, g), différentiée en regardant p et g comme variables principales.

Réciproquement, toute équation de cette forme sera celle de l'enveloppe de l’espace parcouru par une autre surface, qui, sans tourner, se meut le long d’une courbe à double courbure arbitraire dans ses deux projections. Si cette équation est donnée, il sera facile, d’après les formes connues des trois quantités R, S, T, de trouver celle de la fonction T dont elles sont les différences partielles secondes ; et, d’après celle-ci, il sera facile de connaître la

fonction }”, car on a F=—T+pr + qr”.

Cela posé, si l’on veut avoir l’équation de l’enveloppée considérée dans sa position primitive, 1l faut se rappeler que l'enveloppe devient l’enveloppée elle-même, lorsque, pour toute l'étendue de la surface, les trois quantités æ — x”, y — y", 3 — z' sont chacune égales à zéro, c’est-à-dire lorsqu'on a les trois équations suivantes :

Lol — O0, ue PAS z+T—pr'—ql"—= 0,

quelles que soient les valeurs de p et 4: donc, éliminant p et 4 entre ces trois équations, le résultat sera, en +, y, z, l'équation de l’enveloppée considérée dans sa position primitive. Enfin, si l’on veut avoir l'équation de l'enveloppe elle-même, les trois quantités precédentes ne seront pas égales à zéro, mais deux d’entre elles sont fonctions de la troisième; donc si l’on pose les trois équations sui-

vantes :

et si l’on élimine entre elles les deux quantités p, 4, on aura en

mn MIRE) Ce

X, Ÿ, 2, &, Da, Ja une équation que nous représentons par M=0;

puis, posant les trois autres

Me==r0; 4M\ (a )=0® CE

le résultat de l'élimination de « entre les deux premières sera l'équation de l'enveloppe, et par conséquent l'intégrale complète de l’équation aux différences secondes; et le résultat de l’élimination de « entre les trois équations produira, en quantités finies, les deux équations de l’arête de rebroussement de la surface.

Pour trouver les équations de la même surface en différences partielles du premier ordre, il faut observer que des trois quantités x — f, y — f, z — F, deux quelconques sont fonctions de la troisième : donc les deux équations demandées sont celles que l’on voudra des trois suivantes :

æ—f(p,g)=0| Y —f(p; 4) = dx: —F(p, q)], x —f(p,qg)=n

dont une quelconque est la suite nécessaire des deux autres.

Quant aux équations en quantités finies, nous n'avons rien à ajouter à ce que nous venons de dire à cet égard à la fin de l’article précédent de ce paragraphe.

S'il s'agissait de déterminer les formes des fonctions arbitraires

et À de manière que la surface passat par deux courbes données, ou füt circonscrite à deux surfaces courbes données, on opérerait d’une manière entièrement analogue à celle que nous avons exposée pour les surfaces développables.