S XIV

DE LA SURFACE ENGENDRÉE PAR LE MOUVEMENT D'UNE COURBE A DOUBLE COURBURE DONNÉE, CONSTANTE DE FIGURE, ET QUI, SANS TOURNER , SE MEUT LE LONG D'UNE AUTRE COURBE ENTIÈREMENT ARBITRAIRE.

Une courbe à double courbure se meut sans tourner lorsque, pendant le mouvement, deux quelconques de ses tangentes, et par conséquent toutes ses tangentes, restent chacune parallèles à ellemême. Chacun des points de cette courbe parcourt une ligne, et les éléments de toutes ces lignes, décrits en même temps, sont parallèles et égaux entre eux. Si donc, après avoir considéré la génératrice dans sa position primitive, on la considère ensuite transportée dans une autre position quelconque, et qui soit une de celles qu'elle prend successivement dans son mouvement, tous ses points auront parcouru des arcs de courbes égaux, semblables, et dont toutes les tangentes correspondantes seront parallèles entre elles : tous ces arcs se trouveront sur la surface courbe engendrée par la génératrice; et si l’on suppose qu'un quelconque de ces ares se meuve sans tourner, de manière que le point dans lequel il coupe la génératrice ne sorte pas de cette génératrice, 1] se confondra successivement avec les arcs parcourus par tous les autres points, et il ne sortira, par conséquent, pas de la surface courbe; en sorte qu'en

HI De

donnant le nom de directrice à la courbe parcourue par un certain point de la génératrice, on peut dire également que la surface que nous considérons est engendrée, et par le mouvement de la génératrice qui, sans changer de figure et sans tourner, se meut le long de la directrice, et par le mouvement de la directrice qui, sans changer de figure et sans tourner, se meut le long de la génératrice.

Pour traiter cette surface dans toute la généralité dont elle est susceptible, il faudrait supposer que la génératrice et la directrice sont toutes deux arbitraires, chacune dans ses deux projections; mais alors nous serions entraînés dans la considération d'équations aux différences partielles du quatrième ordre. Comme nous nous proposons simplement ici de donner un exemple de génération de surface qui puisse être exprimée par des différences partielles du second ordre, nous supposerons que de ces deux courbes il n’y en ait qu’une seule qui soit arbitraire; nous regarderons l’autre comme donnée : et, parce que ces courbes peuvent être prises indifféremment l’une pour l’autre dans la génération de la surface, nous regarderons celle qui est donnée comme la génératrice. D’après cela, il s'agit de trouver, 1° l’équation aux différences partielles du second ordre; 2° les deux équations aux différences partielles du premier ordre; 3° enfin l’équation en quantités finies.

Représentons par æ — fx, y — fx les deux équations données de la génératrice considérée dans sa position primitive, et dans lesquelles les fonctions f, f sont données de formes. Si, ayant pris sur la surface courbe un point quelconque dont les coordonnées soient +, y, z, et après avoir conçu le plan tangent en ce point, on mène à la génératrice, considérée dans sa position primitive, une