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tangente parallèle à ce plan tangent, le point de contact de cette tangente sera celui de la génératrice qui, pendant le mouvement, viendra se confondre avec le point de la surface. Enfin, si l’on nomme &”, y’, z les coordonnées de ce point de contact, on aura d'abord

(A) Far 4e (B) 1 JE

De plus, il existe entre les trois coordonnées de ce point une relation qui résulte de ce que la tangente en ce point est parallèle au plan tangent de la surface.

Pour trouver cette relation, concevons par l’origine, 1° un plan parallèle au plan tangent à la surface; 2° une droite parallèle à la tangente de la génératrice. Si ce plan passe par la droite, il est évident que la tangente de la génératrice sera parallèle au plan tangent. Or, représentant par X, Y, Z les coordonnées du point général, tant du plan mené par l’origine que de la droite, l'équation du plan sera

Z DX <= sie et celles de la droite:seront X — Zf'z’, NREE VAT

De plus, le plan devant passer par la droite, il faut que ces trois équations puissent avoir lieu en même temps, quelles que soient les

valeurs de X, Y, Z, et que, par conséquent, l'équation (C) VAPEUR ARE ANA

qui résulte de l'élimination de X, Y, Z, soit satisfaite. Done, c’est cette équation (C) qui exprime que le point de la génératrice est

placé de manière que la tangente en ce point est parallèle au plan

en ue

tangent à la surface. Ainsi les trois équations (A), (B), (C) déterminent les valeurs des coordonnées x”, y”, x” du point de la génératrice qui doit venir se confondre avec le point de la surface, en sorte que si de l'équation (C) on tire la valeur de z'en p et q, et

que si l’on représente cette valeur par = ! Ru ” F 2 DOTE

on aura pour les deux autres coordonnées les valeurs suivantes :

/ 7 / In i 2 —Î[F(p,9), x =/f[E(r, a):

Actuellement, concevons la génératrice transportée de mamière ; e dy 3/17 qu'elle passe par le point de la surface; la valeur de . » pour l’élé-

ment de sa projection sur le plan des x, y, sera égale à celle de

dy , V4 \ d\ ! 7 à , ir” et par conséquent égale à celle de TX° 2 étant regardée

comme constante dans cette dernière. On aura donc pour la direction de la projection de l’élément de la génératrice au point de

la surface

à fs fIF@9)] dx 17. PEUT q)]

Cela posé, si l’on conçoit que le point de la surface parcoure l’élément de la génératrice sur laquelle il se trouve, c’est-à-dire si

l’on suppose que ait la valeur que nous venons de trouver, 1l dx

est évident que l’arc de la directrice ne variera pas de grandeur, et que, par conséquent, les trois quantités 4 — x", ÿ—y",z—2", ou les trois suivantes, qui leur sont respectivement égales,

x — f[F(p, q)}; Y — SF (p, q)]; LE F(p, q);

mi D,—

ne changeront pas. Donc, si après avoir différentié ces trois quan-

. # e ? d £ ï tités, on substitue dans chacune d'elles, pour , sa valeur 5

On dx

aura trois quantités qui seront chacune égales à zéro. Mais cette

opération donne également pour les deux premières (D) TERRESTRE EPS CRIS EX FT = 7.

(Quant à la troisième, elle donne

PET: s[f ORPI ER |] + tf XXE" = pl +qf",

dont le second membre, en vertu de l'équation (C), est égal à l'unité, et qui, par conséquent, se réduit encore à l'équation (D). Donc l'équation (D) est, aux différences partielles du second ordre, celle de la surface demandée.

La relation qu'ont entre elles les trois fonctions f, /, F, permet de donner à cette équation une forme plus simple, et sous laquelle il est plus facile de la comparer à celle du $ XIIT, dont nous allons voir qu'elle est un cas particulier. En effet, si dans l’équation

on regarde comme constante la quantité z”, ou son égale F(p, 4), ce qui donne

F'dp + F'dq = 0, la différentielle de l'équation (C) devient f'dp + f'dg = 0.

Eliminant “7 de ces deux équations, on trouve P

f' A F” US SC F’.

Ainsi les deux parties du coefficient de s, dans l’équation (D), sont

égales entre elles, et ce coefficient devient égal au double de l'une d'elles. |

De plus, les deux termes f" x F' et f” >< F7 sont les différences partielles d’une même quantité f[ F(p, q)|, différentiée en regardant p et q comme variables principales; il en est de même des deux autres termes f” >< F’ et f” X F”, qui sont les différences partielles d’une autre même quantité f | F(p, q)]; donc les trois coefficients de l'équation (D) sont les différences partielles du second ordre d’une même fonction de p et q, différentiée en regardant p et g comme variables principales. Nous représenterons cette fonction de p et 4 par T'(p, q), et ses trois différentielles partielles par RAS SLR

Enfin, dans l’équation (D), le produit des deux coefficients extrèmes est égal au produit des deux parties du coefficient de s; car ces produits sont égaux l’un et l’autre à f” x fx F7 x F7; donc l’équation (D) peut être mise sous la forme plus simple

(E) rR+ 258 + €T — 1 — 0, les trois quantités R, S, T devant d’ailleurs satisfaire à l'équation (F) RES 5:

On voit donc que la surface dont nous nous occupons est un cas particulier de celle du $ XIE, et qu’elle n’est autre chose que ce que devient cette dernière lorsqu'on y introduit la condition exprimée par l'équation (F).

LE Si, d'après l'équation (D), on se proposait de trouver la caracté-

ristique de la surface, la méthode que nous avons exposée donnerait pour équation de cette courbe

Lx Ed [IX EF + SX EE ]drdy + fx F'dx° = 0,

qui, ayant les deux facteurs rationnéls f'dy — f'dx = 0, F'dy — F'dx — 0,

indique que les deux branches de la caractéristique sont distinctes, c'est-à-dire que la surface a deux caractéristiques dont les équations peuvent être séparées. La première de ces équations est, comme nous l’avons vu, celle de la projection sur le plan des «, y de la génératrice considérée dans la position qu’elle a lorsqu'elle

passe par le point de la surface; la seconde, en vertu de l'équation f'! SC ER? Un SC HA

se réduit à la première. Donc les deux caractéristiques se confondent dans une seule courbe, qui n’est autre chose que la généra-

trice elle-même.

J'outes les fois qu’on aura une équation aux différences partielles

de la forme de (E), et dans laquelle on aura de plus RESF)

cette équation sera celle d’une surface courbe engendrée par le mouvement d’une courbe constante de figure, et qui, sans tourner, se meut le long d’une directrice entièrement arbitraire. Quant à la nature de la génératrice, c’est-à-dire quant aux fonctions F et /. qui déterminent ses projections, elles sont déterminées, mais leurs formes dépendent de celles des trois coefficients R, S, T, supposés connus, et nous allons donner la manière de les trouver.

D'après les formes connues des coefficients R, S, T, on trouvera la fonction T'(p, g), dont ils sont les différences partielles secondes, prises en regardant p, g comme variables principales, ce qui dépend du caleul intégral ordinaire. Cela fait, puisque l'on a

tar Mar (pa),

on aura AUSSI dE ou L'dp + T'dg = dpf + dqf;

ajoutant au second membre pdf + qgd/f, pour le rendre une diffé-

. NS LEIET 14 h rentielle complète, et retranchant la quantité égale (p ff + qf')dr, ou simplement dF, à cause de l'équation (CG), on aura

dt = d(pf+qgf)— dr,

dont l'intégrale

T=pf+qf —#%, OoU l=pl'+qgr"—EF,

donne la valeur de F en p, 4, F, et ses différences partielles. Or, nous savons que les trois quantités æ — f, y — f, z — F, sont toutes trois fonctions d’une même quantité; que, par conséquent, deux d’entre elles sont fonctions de la troisième : donc si, ayant

posé les trois équations

on élimine p, g des deux premières, au moyen de la troisième, ce qui est toujours possible dans ce cas, puisque l’on a

et que les quantités T” et T” sont toutes deux fonctions de

T—pT —qT, ou de z—%, on aura les deux équations

ZX — Î(z— à) — pa, Y —f(z— a) = 4e,

dans lesquelles les fonctions f et f seront connues, et qui seront

Ps ] ] 9 ns

celles de la génératrice considérée dans une quelconque de ses positions; enfin, le résultat de l'élimination de # entre ces deux équations sera en +, y, 3, et deux fonctions arbitraires, l'équation de la surface et l'intégrale finie de l’équation (E).

Les deux dernières équations expriment évidemment que la surface est engendrée par le mouvement d’une génératrice constante de figure, dont les équations, lorsqu'elle est dans sa position primitive, sont æ — fz, y —fz, et qui, sans tourner, se meut le long d’une directrice arbitraire dont les équations sont représentées par

XL — @7, Ÿ — VYZ.

Pour trouver les deux équations aux différences premières, il faut se rappeler que, d’après ce qui précède, les trois quantités x —f,y —f et z — F sont constantes ensemble et variables ensemble, et que deux quelconques d’entre elles sont, par conséquent, fonctions de la troisième : ainsi ces équations sont deux des

suivantes :

x — F[F(p,q)]= 6[z— F(p, 4)}, Y—f{F(p, g)]= [2 F(p, 9), x — #[F(p, 9) =nf{r — F[(p, 9)]},

dont une quelconque est la suite des deux autres.

Enfin, en représentant par x — pz, y — 42 les équations des deux projections arbitraires de la directrice, l'équation finie de la

surface est le résultat de l'élimination de # entre les deux équations x—qu—Îf(z— x), Y—da—f(z —

Nous n’entrerons pas dans d’autres détails par rapport à cette

surface; mais nous allons placer ici quelques résultats relatifs au