XIII

Toutes les intégrations d'équations aux différences partielles, considérées comme exprimant des générations de surfaces courbes, fournissent celles des équations analogues aux différences ordinaires à deux variables, et ces intégrations ont ordinairement l'avantage de présenter les équations sous des formes plus favorables à la construction. Nous allons en donner un exemple sur l'équation aux différences partielles secondes

(rt — 5?) (RT — S°) —7rR — 258 — Tr +1 —o,

qui est celle du $ XIIT. Si, dans cette équation, on supprime une des deux variables principales, par exemple y, les trois quantités 4,5, T deviendront nulles, et l'équation se réduira à

ARE an.

Actuellement, pour prendre les formes du calcul aux différences LB : dz dp ; ordinaires en x et z, soient a = PT; de plus, F(p) étant

dr FREE A Ré

une certaine fonction de p, soient T'= —— et T”— -—. dp dp

Cela posé,

l'équation rR — 1 deviendra

gr'(p)=1, équation aux différences ordinaires secondes, qui peut s'intégrer par les méthodes connues, mais qui s'intègre encore plus facilement par le procédé du $ XII. En effet, étant donnée la fonction T”, on cherchera les fonctions T’ et F, ce qui ne dépend que des quadratures, et, dans les intégrations, on négligera les constantes arbitraires. Cela fait, les deux équations

x—T'—= A, z+T—pr'—=B,

seront les deux intégrales premières de la proposée, À et B étant les constantes arbitraires particulières à chacune d'elles; et si entre ces deux équations on élimine p, on aura, en x — À et z — B, l’intégrale complétée par les deux constantes À et B. Cette équation sera donc celle d’une courbe constante de figure qui, sans tourner, est transportée, suivant une direction quelconque, à une distance

sur quelconque de l’origine.

EXEMPLE

Soit proposée a? L?

PSE TE (b? + pe)!

dans laquelle «& et b sont des constantes. On à donc ici

DÉC a : 5?

ROSE OAE ce qui donne ; SAN TE Um PSE et T — \/é + ap"; vb+ a°p°

donc les deux intégrales premières de la proposée sont

RES I NEn PNR, = A, VB? + a°p° ré REP RR Le B, vb? + a°p°

et l'intégrale finie est le résultat de l'élimination de p entre ces deux dernières équations. Cette élimination se fait facilement en

mettant d’abord ces équations sous cette autre forme :

Dr nu Pe, Vb? + a°p°

w B ss 0 vibre a°p°