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puis ajoutant le carré de la première, multiplié par b°*, au carré de la seconde multiplié par a°?, ce qui donne
la proposée appartient donc à une ellipse dont les axes, d’abord
confondus avec les lignes des x et des z, ont respectivement pour . . a LA LA
grandeurs 24, 2b, et qui ensuite a ête transporteée, sans tourner,
de manière que son centre soit placé en un point arbitraire dont les
coordonnées sont les deux constantes À et B, introduites par l’in-
+ 9 » Q a20: Q 2. 4 0 (”) L'équation g —— ;, = 1 aurait encore pu s intégrer directement en (b?+ a°p°}° substituant pour q sa valeur ces d’où F P 2 dx?
dp :. dx PET 1h20 (b? + a?p°) e ce qui donne P T = —- À PVr+ap ab d'où a°p Vb?+ a?p°
On doit avoir aussi z — fpdr + B;
d'où 2h? pd CRAN (b?+ a°p°) d’où b?
2=———— +R, Vb? + a°p° ou bien b?
Z + — kB, Vb? + ap!
Ces équations sont les mêmes que celles trouvées ci-dessus.
et
tégration;, ce qui fournit une construction facile. Passons actuellement aux différences du premier ordre.
Si l’on a une équation composée d’une manière quelconque des deux quantités x — fp, z — Fp, et représentée par
fIx—fp, z—Ep]—o,
quelle que soit la fonction f, pourvu qu'entre les deux fonctions fet Fil y ait la relation suivante :
ET AT on aura l'intégrale complète de cette équation en posant les trois équations x — fp = À, z— Fp— B, FALAED EE 07
et en éliminant entre elles la quantité p et l’une quelconque des deux constantes arbitraires À, -B.
Si l’on élimine d’abord p entre les deux premières, on aura évidemment une équation en x — À et z — B, qui sera celle d’une courbe pour laquelle l’origine est transportée à une distance A dans le sens des x, et à une distance B dans le sens des z; ou, ce qui revient au même, d’une courbe constante de figure, qui, sans tourner, est transportée à une autre distance de l’origine; et la troisième équation , : JL (À, B) 10 sera celle de la courbe le long de laquelle la première est transportée; ce qui donne un moyen facile de construction.
Enfin, il pourrait arriver que l'équation
f(æ—fp, z—Fp)—o
füt susceptible d’être mise sous cette forme, dans laquelle on aurait dE = nai
et que cependant la manière de l’ÿ ramener ne se présentât pas. Il sera facile de s’en assurer; car, après l'avoir différentiée, si elle est dans ce cas, il sera toujours possible d’en éliminer en même temps x et z au moyen de sa différentielle, ce qui produira une équation aux différences secondes
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qui se traitera comme nous l’avons indiqué plus haut.
