SU DES DEUX COURBURES D’UNE SURFACE COURBE

En représentant par x, y, z les coordonnées d'un point quelconque d’une surface courbe, et par x”, y”, z° celles de la surface d’une sphère, de manière que l'équation de la sphère qui aurait son centre au point de la surface courbe, et pour rayon la quantité R, soit

(A) (œ— x) ESF,

nous avons vu que si l’on regarde x”, y”, z° comme constantes dans cette équation, et que si on la différentie successivement en regar-

dant d’abord x, et ensuite y, comme seules variables, les deux

équations (B) x—x'+(z—2)p—o, (C) Y—Y + (z—z)q =,

que l’on obtient, sont, en x”, y”, z”, celles des deux plans normaux à la surface courbe, menés par le point que l’on considère sur la surface, et perpendiculaires, l'un au plan des x, z, l’autre à celui des y, z; que, par conséquent, ces deux équations sont celles des deux projections de la normale à la surface courbe, menée par le même point de la surface. Dans ces deux équations, x”, >”, z” sont les variables de la normale, et les cinq quantités x, y, 3, p, q, qui appartiennent au point de la surface par lequel passe la normale, sont constantes pour la même normale, et varient de grandeur lorsque l’on passe d’une normale à une autre.

Si, du point que l’on considérait d’abord sur la surface, on passe, suivant une certaine direction, à un point infiniment voisin, les cinq quantités x, y, z, p, q croîtront de leurs différentielles respectives dx, dy, dz, dp, dq; on aura entre ces cinq différentielles

les trois équations suivantes :

dz = pdx + qdy, dp=rdx +sdy, dq =sdx + tdy;

et la valeur de la quantité # déterminera, sur le plan des æ, y, la projection de la direction suivant laquelle on passe du premier point au second.

Cela posé, si par le second point on conçoit une nouvelle normale à la surface courbe, et si cette normale est dans le même plan que la première, et la coupe, par conséquent, quelque part en un point, ce point d’intersection sera celui de la première normale pour lequel les trois coordonnées x”, y”, z" ne varient pas lorsque

x et y changent de grandeur. Done, si l’on différentie les deux

équations (B), (GC), en regardant x”, y”, z° comme constantes, ce

qui donne

dx + p°dx + pqdy + (z— 3") (rdx + sdy) = 0,

dy + pqdx + q° dy + (z— 3") (s dx + t dy) —0,

dy

ou bien, éliminant de la première, et z — z’ de la seconde, ce

qui produit les deux équations équivalentes aux deux précédentes :

(1+g*)r —2pqs

(D) (23) (rés) +(z—2z | 1+p°+q"—0,

a ee +

( ( jen net (1 + pis + pqr —=0,

(K) [(1+ gs — pqt| + 2 ns les quatre équations (B), (C), (D), (E) appartiendront au point d'intersection des deux normales consécutives. Mais, pour déterminer les trois coordonnées x”, y”, x" de ce point, les trois premières de ces équations suffisent; la quatrième équation (E), qui ne renferme aucune des coordonnées, est donc une équation de condition qui doit être satisfaite, et qui, en déterminant la valeur

de e ; indique la direction suivant laquelle on doit passer du pre-

mier point de la surface au second, pour que la nouvelle normale soit dans le même plan que la première, et ait un point commun avec elle.

Ainsi, lorsque le point d’une surface courbe est déterminé de position, la direction suivant laquelle on doit passer de ce point à un point Imfiniment voisin pour que les deux normales consécutives se coupent, et les trois coordonnées du point d’intersection de ces deux normales, sont déterminées par les quatre équations (B),

IT

L’équation (E) étant du second degré algébrique, par rapport

, dy : ER ù à SL et fournissant deux valeurs pour cette quantité, il s'ensuit ax

qu'ayant mené une normale par un point quelconque d’une surface courbe, on peut toujours, dans deux directions différentes, passer sur la surface de ce point à un autre point infiniment voisin, pour lequel la normale soit dans un même plan que la première. Ces deux directions sont, en général, les seules pour lesquelles ce résultat puisse avoir lieu; en sorte que, excepté les cas très-particuliers pour lesquels l'équation (E) est toujours satisfaite quelle que soit

la valeur de . » si l’on passe du premier point au second suivant

toute autre direction, la nouvelle normale ne se trouvera pas dans le même plan avec la première, et n'aura avec elle aucun point commun.

Les deux directions dont il s’agit ont encore entre elles une relation très-remarquable, c’est qu’elles sont à angles droits. En effet, quelle que soit la surface courbe sur laquelle on opère, et quel que soit le point de cette surface que l’on considère, on peut toujours supposer que les trois plans rectangulaires de projections, dont la position était d’abord arbitraire, aient été choisis de manière que le plan tangent à la surface dans ce point soit parallèle au plan des æ, y. Dans cette hypothèse, les quantités p, q sont toutes deux égales à zéro, et l'équation (E) devient 2 <

dy {r —t ae Al 5 ECS dy

Or, si l’on représente par 7» et m' les deux valeurs de += que

fournit cette équation, on aura