MILLE

done les projections des deux directions sur le plan des x, y sont à angles droits. Mais ces directions elles-mêmes, en tant qu'elles sont dans le plan tangent, sont parallèles à leurs projections : donc elles

sont aussi à angles droits.

LDE

L’équation (D) étant aussi du second degré algébrique, par rapport à z — z, il est clair que les trois équations (B), (C), (D) don-

» - . ÿ 4 neront deux valeurs pour chacune des trois quantités x”, y”, z'

, et que ces doubles valeurs seront celles qui correspondront respectivement aux deux points d’intersection de la première normale avec les deux autres normales, qui sont chacune dans un même plan avec elle.

En opérant sur chacun de ces points d’intersection en particulier, et d’abord sur le premier d’entre eux, si l’on conçoit la sphère dont le centre serait en ce point, et dont la surface passerait par le point de la surface courbe, il est évident que les deux normales de la surface courbe, qui se coupent au centre, seront aussi normales à la sphère : la surface courbe et celle de la sphère auront donc deux normales consécutives communes, et, par conséquent, deux plans tangents consécutifs communs; elles auront donc la même courbure dans la direction du plan qui passe par les deux normales, c’est-à-dire dans la direction déterminée par la valeur correspon-

dy ‘ dante de Ée » et le centre de cette courbure ne sera autre chose que

le point de rencontre des deux normales, c’est-à-dire le centre même de la sphère.

Considérant ensuite le second point d’intersection, si l’on concoit de même une autre sphère dont le centre serait en ce second point, et dont la surface passerait encore par le point de la surface courbe, la surface courbe et celle de la seconde sphère auront aussi

deux normales consécutives communes, deux plans tangents consécutifs communs, et, par conséquent, la même courbure; mais la direction suivant laquelle cette seconde courbure sera la même, sera

déterminée par la seconde valeur de “ elle existera dans le plan qui passe par les deux normales communes, et ce second plan sera perpendiculaire à celui qui comprend la direction de la première courbure. Enfin, le second point de rencontre des normales, c’està-dire le centre de la seconde sphère, sera le centre de la seconde courbure.

Ainsi, toute surface courbe a dans chacun de ses points deux courbures dont les directions sont dans deux plans normaux perpendiculaires entre eux, et dont les centres sont sur la même normale.

Les trois quantités x, y, z étant les coordonnées du point de la surface, et les trois autres x”, y”, z’ étant les coordonnées du centre de courbure, il est évident que la distance de ces deux points, c’està-dire la grandeur du rayon de courbure, n’est autre chose que la quantité R comprise dans l'équation (A). Done, si entre les quatre équations (A), (B), (C), (D) on élimine les trois quantités æ — x”, Y—)", z— 37, on aura une équation du second degré qui donnera, en p,q, r, s, t, les deux valeurs de R, c’est-à-dire celles des deux rayons de courbure.

En faisant, pour abréger,

g—rt—Ss",

h={(1 + g*)r — 2pqs + (1+ p°})t,

Ta Mur ve He le résultat de cette élimination donne

BR + AkR + 4° — 0;

DORE d'où il suit que l'expression des deux rayons de courbure est

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