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Puisque toute normale à une surface courbe est toujours rencontrée par deux autres normales infiniment voisines et placées dans deux plans normaux rectangulaires entre eux, concevons que de la normale au premier point considéré sur la surface on passe, en effet, à l’une des deux normales infiniment voisines qui la coupent; qu’ensuite, de cette deuxième on passe, dans le même sens, à celle qui la coupe; que de cette troisième on passe, dans le même sens, à celle qui la coupe encore, et ainsi de suite pour toute l’étendue de la surface; il est évident qu’on parcourra une surface développable qui sera partout perpendiculaire à la surface courbe, et qui la coupera dans une ligne courbe dont tous les éléments seront dirigés suivant une des courbures de la surface : cette courbe sera donc une ligne de la première courbure. En faisant la même opération, et dans le même sens, pour tous les points de la surface, on aura la suite de toutes les lignes de la première courbure, qui diviseront la surface courbe en zones de largeur variable.
Concevons de même que de la normale au premier point considéré sur la surface on passe à l’autre des deux normales infiniment voisines qui la coupent; que de celle-ci, et dans le même sens, on passe à la suivante, et ainsi de proche en proche dans toute l’étendue de la surface; il est évident que l’on parcourra une nouvelle surface développable, qui sera de même partout perpendiculaire à la surface courbe, qui la coupera suivant une ligne de la seconde courbure, et cette ligne coupera toutes celles de la première cour bure à angles droits. Opérant de même, et dans le même sens, pour
y: RE
tous les points de la surface, on aura la suite de toutes les lignes de la seconde courbure. Ces lignes diviseront de même la surface courbe en d’autres zones de largeur variable; mais chacune d’elles sera perpendiculaire à toutes celles de l’autre courbure, et réciproquement; en sorte que ces deux suites de courbes diviseront la surface courbe en éléments qui pourront être regardés comme rectanoulaires. Éclaircissons ceci par un exemple simple.
Soit une surface quelconque de révolution; si de l’un de ses points on passe dans le plan du méridien à un point infiniment voisin, les deux normales consécutives se couperont, puisqu'elles seront comprises l’une et l’autre dans le plan même du méridien. Si du premier point on passe à celui qui est infiniment voisin dans la direction du parallèle, les deux normales consécutives se couperont encore, puisqu'elles passeront toutes deux par le même point de l’axe. Mais, dans quelque autre direction que l’on passe d’un point à un autre, les deux normales couperont l’axe dans des points différents, et ne se rencontreront pas. Les méridiens sont donc les lignes d’une des courbures, et les parallèles les lignes de l’autre. Chacun des méridiens coupe tous les parallèles à angles droits, et réciproquement ; et les deux suites de ces lignes divisent la surface courbe en éléments qui peuvent être regardés comme rectangulaires.
Nous avons vu que léquation (E) exprime le rapport qui doit exister entre Si et les cinq quantités p, q, r, $, t, pour que deux normales consécutives se coupent : elle est donc celle de la projection de la ligne de courbure sur le plan des x et y. Donc, si après avoir différentié deux fois l'équation donnée de la surface courbe, pour obtenir en x, y les valeurs de p, q, r, s, t, on substi-
dy a À ee Tune équation aux dif-
férences ordinaires, qui sera celle des projections des lignes de
tue ces valeurs dans (E), on aura en «, y,
ER Les courbure. Mais cette équation est du second degré par rapport à
Le ainsi, lorsqu'on l'aura intégrée et complétée par une constante ax
arbitraire que nous représenterons par À, cette constante sera élevée au second degré, et l'intégrale sera généralement de la forme
A Af(x, y) + (a 7)=0;
dans laquelle les deux fonctions f, f seront données par l’intégration. Si donc on veut déterminer quelle doit être la valeur de cette constante pour que la ligne de courbure individuelle soit celle qui passe par un point donné sur la surface et correspondant à x — 4, y = b, il faudra substituer ces deux valeurs particulières x, y dans
l'intégrale, qui deviendra A° + Af(a, b)+ fa, b) — 0,
et à laquelle la constante À doit satisfaire. Mais cette équation fournit pour À deux valeurs que nous pouvons représenter par Fa, b) et Fa, b), et qui ne différeront entre elles que par les valeurs du radical ; si donc on les substitue successivement dans l'intégrale, on aura les deux équations
(G) [F(a, D) + [Fa b)Tf(œ, y) + f(x, ») = 0, (H) [F(a, b)F + [F(a, b)] f(x, y) + f(x; 7) = 0,
qui seront celles des deux lignes de courbure qui passent par le point donné. Nous aurons occasion, par la suite, d’éclaircir ce procédé par des applications.
Si, dans l'équation (E) des lignes de courbure on substitue pour 7, { leurs valeurs prises dans dp — rdx + sdy, dq—=sdx+tdy, la quantité s disparaît en même temps; et, au
moyen de dz — pdx + qdy, cette équation prend la forme (E) dp (dy ce qdz) == dq (dx + pdz),
sous laquelle nous verrons qu’elle se présente souvent, et qu’il est
nécessaire de connaître.
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Nous avons vu qu'à chaque ligne de courbure correspond une surface développable normale à la surface courbe, et qui est le lieu de toutes les normales qui passent par la même ligne de courbure. Pour toutes les lignes de la première courbure on a donc une suite de semblables surfaces développables, qui ne diffèrent entre elles que par une certaine constante, et cette constante peut influer en même temps et sur leur forme et sur leur position. Pour toutes les lignes de la seconde courbure on a de même une autre suite de surfaces développables normales, qui ne diffèrent entre elles que par une autre constante. De plus, les deux surfaces développables normales qui passent par le même point de la surface, se coupant dans la normale qui leur est commune, et étant perpendiculaires l’une à l’autre, il s’ensuit que chacune des surfaces développables de l’une des suites rencontre toutes celles de l’autre suite en lignes droites, à angles droits, et réciproquement. Les deux suites de surfaces développables divisent donc l’espace en éléments infiniment étroits dans les sens des deux courbures, indéfinis dans le sens de la normale, et terminés par quatre plans rectangulaires entre eux, et par quatre arêtes indéfinies et en lignes droites.
Il est facile d’apercevoir qu’étant donnée la surface d’une voute, la manière la plus naturelle de la diviser en voussoirs par des joints est de prendre pour joints les surfaces développables normales à la surface de la voute, et espacées entre elles, dans chacune des deux
suites, d'une quantité finie et dépendante de la nature des matériaux. Ces joints seraient tous perpendiculaires à la surface, et rectangulaires entre eux; les voussoirs n'auraient, par conséquent, que des angles droits; les joints qui seraient engendrés par le mouvement d’une ligne droite seraient de l’espèce de ceux auxquels on donne le nom de réglés, et par conséquent d’une exécution facile. D'ailleurs, si les joints étaient apparents sur la surface de la voûte, ils y traceraient des courbes toutes rectangulaires entre elles, et qui, dépendant de la nature même de la surface, en rendraient la génératrice plus apparente : enfin, ces lignes elles-mêmes diviseraient la surface de la voûte en compartiments tous rectangulaires et susceptibles d’une décoration bien ordonnée et propre à la surface.
Les deux équations (B), (C) étant, en x”, y”, z’, celles de la normale, il est évident que si l’on assujettit cette normale à se mouvoir dans la surface développable d’une des courbures, elle passera par la ligne de cette courbure, et les deux quantités x, y auront entre elles la relation exprimée par celle des deux équations (G), (H), qui est relative à cette courbure. Donc, si des trois équations (B), (C), (Gr), et de celle de la surface courbe, on élimine x, y, z, on aura en 2,7, 2, @, b, pour une des courbures, l'équation de la surface développable normale qui passe par le point déterminé par x — a, y = b. Et si l’on élimine de même x, y, z entre les trois équations (B), (G), (H) et celle de la surface courbe, on aura en +’, y’, z’, «, b, pour l’autre courbure, la surface développable nofmale qui passe par le même point. |
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Chacune des surfaces développables normales d’une des suites à son arête de rebroussement particulière, qui, étant le lieu des inter-
sections successives des normales consécutives pour une ligne de
courbure, est évidemment le lieu des centres d’une des courbures de tous les points de la surface qui sont sur la même ligne de courbure. Si l’on considère donc le système des arêtes de rebroussement de toutes les surfaces développables normales d’une même suite, ce système formera une surface courbe qui sera le lieu de tous les centres d’une des courbures de la surface courbe. De la même manière, le système des arêtes de rebroussement de toutes les surfaces développables normales de l’autre suite formera une autre surface courbe, qui sera le lieu de tous les centres de la seconde courbure de la même surface courbe. Ces deux surfaces des centres de courbure d'une même surface courbe, qui, dans quelques cas particuliers, peuvent avoir leurs équations séparées, mais qui, en général, sont des nappes différentes d’une même surface courbe, et comprises dans une même équation élevée, sont, par rapport à la surface courbe, ce que les développées sont par rapport aux lignes courbes.
Les trois équations (B), (G), (D) donnant les coordonnées x’, y’, z' du centre de courbure correspondant au point de la surface courbe déterminé par les valeurs arbitraires de x et y, il est évident que si, entre les trois équations (B), (CG), (D) et celle de la surface courbe, on élimine x#,.y, 3, l'équation résultante sera, en x”, y”, z’, celle de la surface des centres de courbure.
* Lorsque l’équation du second degré (D), après la substitution des valeurs de p,q,r,s,t en x, y, sera divisible en deux facteurs rationnels, c’est-à-dire lorsque les quantités +, y pourront sortir toutes de dessous le radical ; en opérant, comme nous venons de le dire, pour chaque facteur en particulier, on aura les équations séparées des surfaces des centres des deux courbures, ces deux surfaces seront alors distinctes ; elles pourront même être totalement indépendantes si la quantité qui est sous le radical est un carré parfait, ou n’être liées entre elles que par une relation entre leurs
paramètres, si la quantité constante qui est sous le radical n’est pas un carré parfait. Mais lorsque x et y ne pourront sortir entièrement du radical, on ne pourra opérer que sur l'équation du second desré (D) elle-même; le résultat de l'élimination en x”, y”, z' sera d'un degré pair; les surfaces des centres des deux courbures ne seront plus distinctes, et elles seront les nappes différentes d’une même surface courbe, produites l’une et l’autre par une même génération.
De ce que chaque normale est tangente en même temps aux arêtes de rebroussement des deux surfaces développables normales dont elle est l'intersection, il s'ensuit qu’elle est en même temps tangente aux deux nappes de la surface des centres de courbure ; de plus, chacune de ces nappes est l'enveloppe de toutes les surfaces développables normales d’une même suite. Ainsi, tout plan tangent à une de ces surfaces développables sera aussi tangent à la nappe que cette surface touche; done, si l’on conçoit par la mème normale les deux plans tangents aux surfaces développables dont elle est l’intersection, ces deux plans, qui d’ailleurs sont à angles droits, seront tangents, l’un à la première nappe de la surface des centres, et l’autre à la seconde. Donc la surface des centres de courbure d’une surface courbe jouit de cette propriété remarquable, que, de quelque part qu'on la considère, les contours apparents de ses deux nappes paraissent toujours se couper à angles droits.
Il suit de là que toute surface courbe n’est pas habile à être la surface unique des centres de courbure d’une autre surface. Il faut pour cela, 1° que son équation algébrique soit d’un degré pair; D? que les contours apparents de ses deux nappes soient rectangulaires entre eux. Toutes celles qui ne remplissent pas ces deux conditions ne peuvent former que la surface des centres d’une des courbures, et doivent être conjuguées avec une autre surface courbe, qui sera celle des centres de l’autre courbure, et pour la-
Lis quelle il suffira que les contours apparents de l’une et de l’autre soient rectangulaires, de quelque point qu’on les regarde.
Si, sur la nappe des centres d’une des courbures, on considère
une quelconque des arêtes de rebroussement dont elle est le lieu, cette arète sera, entre deux quelconques de ses points, la ligne la
. plus courte que l’on pourra tracer sur la nappe. En effet, le plan
osculateur de cette arête, c’est-à-dire le plan qui passe par deux de ses tangentes consécutives, est tangent à la surface développable à laquelle appartient l’arète, et qui est le lieu de ses tangentes : il est donc tangent à la nappe des centrés de l’autre courbure, et, par conséquent, normal à la première nappe au point d’osculation. Or la ligne dont le plan osculateur est normal à la surface au point d'osculation est la plus courte que l’on puisse tracer, sur cette surface, entre deux quelconques de ses points; ou, ce qui revient au mème, elle est celle que tracerait un fil tendu entre ces deux points. Car si l’on conçoit un fil appliqué sur cette courbe, coïncidant avec elle, et tendu à ses deux extrémités par des forces égales, la résultante des tensions de deux éléments consécutifs sera dirigée dans le plan de ces deux éléments, c’est-à-dire dans le plan osculateur normal à la surface; et parce que ces deux tensions sont égales entre elles, la direction de la résultante partagera en deux parties égales
l'angle formé par les deux éléments consécutifs : ainsi cette résul-
. tante sera normale à la surface, et sera entièrement détruite par la
résistance de cette surface; le fil n’aura donc aucune tendance à s’écarter de la courbe sur laquelle il aura été appliqué, et avec laquelle il coincidera toujours.
Si les deux nappes des centres de courbure se coupent quelque part, elles se couperont à angles droits, et la courbe de leur intersection sera le lieu des centres de courbures sphériques de la surface; car chacun des points de cette ligne se trouvant en même
temps sur les nappes des deux courbures sera le centre commun DE 18
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des deux courbures qui, au point correspondant de la surface, sont égales entre elles, comme celles d’une sphère. De plus, si l’on concoit toutes les tangentes à la courbe d’intersection des deux nappes, chacune d’elles sera normale à la surface, et la coupera en un point pour lequel les deux courbures auront même rayon et même centre. La courbe qui, sur la surface, passe par tous ces points, est une ligne remarquable; c’est la ligne des courbures sphériques, qui ne coiïncide avec aucune des lignes de courbure, et qui, sur la surface, coupe toutes celles de l’une et de l’autre espèce. On aura l’équation de cette courbe en égalant entre elles les valeurs des deux rayons de courbure, c’est-à-dire en égalant à zéro le radical de l’équation (D), ce qui donne
[+ g}r— apgs + (1 + pe)e] = 4 (rés?) (14 p° + q°).
Il est bien évident que la ligne des courbures sphériques sur la surface est une développante de la ligne des centres de courbure sphérique ou de l'intersection des deux nappes des centres. Ainsi, après avoir fixé un fil en un des points de l'intersection des deux nappes des centres, si, en le tendant, on le fait mouvoir de manière qu'il s’enveloppe sur cette intersection, et que la partie rectiligne du fil soit toujours tangente à cette courbe, un des points de ce fil parcourra la ligne de courbure sphérique. Mais si, en tendant le fil, on ne s’assujettit à aucune condition, et en supposant qu’il n’exerce. aucun frottement sur les nappes des centres, dans quelque position qu'on le considère, il sera divisé en trois parties : la première sera enveloppée sur une partie de l'intersection des deux nappes; la deuxième sera pliée et tendue sur la nappe des centres dont le fil se sera approché, et sera appliquée sur une des arêtes de rebroussement dont cette nappe est le lieu, et ces deux parties de courbes se toucheront à leur point commun; la troisième partie du fil en ligne droite sera tangente à cette arête de rebroussement, et nor-
male à la surface; enfin, le même point du fil sera sur la surface elle-même. Ainsi, en agitant le fil constamment tendu, on pourra transporter le même point du fil successivement sur tous les points de la surface.
On voit done qu'une surface quelconque peut être engendrée par les deux mouvements continus du point d’un fil tendu qui s’enveloppe sur les nappes des centres, de même qu’une courbe plane peut être engendrée par le point tendu d’un fil qui s’enveloppe sur la développée de la courbe.
Nous allons actuellement nous occuper de la génération des surfaces courbes d’après les propriétés de leurs lignes de courbure, de leurs rayons de courbure, etc. Nous aurons souvent occasion d’employer les équations rapportées dans ce paragraphe.
