DES LIGNES DE COURBURE DE LA SURFACE DE L'ELLIPSOIDE

Après avoir porté, de part et d'autre de l’origine, sur la ligne des + une première droite &, sur la ligne des y une seconde droite b, et sur la ligne des z une troisième droite c, ce qui détermine six points placés de telle manière que chacun des trois plans rectangulaires en contient quatre; si l’on conçoit dans chacun de ces plans une ellipse dont les quatre points compris dans ce plan soient les quatre sommets, chacune de ces ellipses, que nous nommerons e/-

lipses principales, aura pour demi-axes deux des trois droites 4,

b, c, et leurs équations seront

BTE ay 0e

SS

(Le ww

az? + c°x°?

Ensuite, si l’on conçoit qu'un plan se meuve parallèlement à l'un quelconque des plans rectangulaires, dans chacune de ses positions. il coupera deux des ellipses principales, chacune en deux points, ce qui déterminera quatre points dans ce plan; enfin, si l’on concoit l’ellipse dont ces quatre derniers points seraient les quatre sommets, le lieu de toutes les ellipses construites suivant la même loi que la dernière sera la surface de l’ellipsoide dont nous nous proposons de trouver des lignes de courbure; ou, ce qui revient au même, cette surface peut être regardée comme engendrée par le mouvement de la dernière ellipse, qui est en même temps variable de figure et de position.

Il est évident, d’après cette génération, que la surface est symétrique par rapport à chacune des trois lignes des +, des y et des z, sur lesquelles seront placés ces trois axes, et que les grandeurs de ces axes seront respectivement 24, 2b, 2c. De ces trois axes nous supposerons que le premier soit le plus grand et que le dernier soit

le plus petit.

IT

Pour trouver l'équation de la surface de l’ellipsoide, supposons que le plan mobile soit parallèle à celui des x, y, et considérons-le lorsqu'il est à une distance quelconque 4 de l’origine; on aura pour son équation

On trouvera les coordonnées des points dans lesquels il coupe alors les deux ellipses principales, en faisant z — + dans les équations de

ces deux courbes, ce qui donnera

é 5C°— a? â paca ia” UN —— CES h 4 = DR e-ae cé ; c?

et ces valeurs de + et y seront les demi-axes de l’ellipse mobile.

dont l'équation sera, par conséquent, Déc Pralcy"—= a"b(c"— à°).

Ainsi cette équation et celle du plan mobile sont les deux équations

de l’ellipse mobile considérée dans l’espace, et dont la figure, ainsi

que la position, sont déterminées par la valeur de #. Done, pour . Ci . al

avoir l’équation de la surface engendrée par le mouvement de cette

courbe, il faut éliminer + entre ses deux équations; ce qui donne

pour équation de la surface de l’ellipsoide

RRQ EE RER ET Te Si le plan mobile euùt été parallèle au plan des +, z, ou à celui des

Y, z, on aurait eu le même résultat, et l’on aurait, par conséquent,

engendré la même surface.

Pour avoir l'équation des lignes de courbure, il faut différentier deux fois celle de la surface, afin d'obtenir les valeurs de p, 4, r, s, t, et substituer ces valeurs de l'équation (E), page 126, des lignes de courbure. Or, par la différentiation, on trouve

SL CAC ÉtaS a°z’ c?

Trvone ce 2 2 = — EE 7"), c* S ET TEA

VIT

substituant donc ces valeurs dans l'équation (E),

(E) D [Go +g)s—patl + [0 + a)r 0 +pt)4]| — [6 +ps— pr]

et chassant, au moyen de l'équation de la surface, les z qui ne se détruisent pas, on aura, pour les projections des lignes de courbure sur le plan des æ, y, l'équation aux différences ordinaires à

deux variables

> Let b*(a*—c*)x° | 4 PRE Ab CPI = b'(ar ciao,

dx° dx — a b(a? D?)

a*(b°—c*)xy

qui, en faisant, pour abréger, 2 Cm 2 | CIC ra EE b?(a°—c?) 3 LEE CHA oe devient dy dx

ly° A xy Te =

et qu'il s’agit d’intégrer.

Cette équation étant élevée, on doit la regarder comme résultant de rapports non linéaires établis entre les constantes qui complétaient les intégrales du premier ordre d’une équation différentielle d'un ordre supérieur. Il faut donc chercher cette équation d’un ordre supérieur en éliminant successivement des constantes par la différentiation, l'intégrer ensuite jusqu'aux quantités finies, ce qui introduira autant de constantes: arbitraires de trop que l’on aura différentié de fois, et trouver enfin les relations qui doivent sub-

sister entre ces constantes arbitraires pour que la proposée soit satisfaite.

EUR Différentiant donc la proposée, on trouve

., NP ES EN ce.

(249 ta — Ày —B)+(4%+1)(a— =:

et éliminant une des constantes À, B, l’autre disparaît aussi, et l'on

obtient l’équation aux différences secondes æy ddy + dy (xdy — y dx) = 0, qui est linéaire, et qui peut être mise sous cette forme Y'dd LAS é ddy + dyd' — 0

dont l'intégrale est

Y 4 d =— = LE js dy = Ba, 8 étant la constante arbitraire introduite par l'intégration. . \ \ , u 4 l/ À On pourrait dès à présent substituer dans la proposée, pour a - C6 #3

sa valeur tirée de l’intégrale, et l’on aurait l'intégrale demandée complétée par la constante arbitraire £: dans ce cas même, l’opération serait très-simple; mais, en général, il vaut mieux remonter directement aux quantités finies, ce qui donne toujours l'équation la plus simple, et déterminer les valeurs des constantes surnuméraires de manière que la proposée soit satisfaite.

Intégrant donc encore une fois, on trouve