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Ces demi-axes pour chaque ellipse sont donc les coordonnées d’un point d’une mème hyperbole déterminée, et pour chaque hyperbole les coordonnées d’un point d’une même ellipse déterminée; cette hyperbole déterminée et cette ellipse étant d’ailleurs l’une et l’autre concentriques à l’ellipsoide, ayant, de plus, les mêmes axes, dirigés, l’un suivant la ligne des x, l’autre suivant la ligne des y, et les grandeurs de ces axes étant, pour la moitié du premier, V B, et pour la moitié du second, LE Enfin, remettant

\ pour À et B leurs valeurs, les grandeurs des demi-axes communs de l’ellipse et de l’hyperbole déterminées seront respectivement ae Ra. Love =

————— ———, D'où suit la construction suivante. Va?— ec" Vb — 6°

Le AE

On construira une première hyperbole et une première ellipse,

toutes deux concentriques à l’ellipse principale, et dont les demi-

AVG 0: bVa?— b? axes communs seront ———— dans le sens des x, et ————— Var —"c VE? — °c?

dans le sens des y. Nous donnerons à ces deux courbes le nom

d’Ayperbole et d’ellipse auxiliaires. Puis, si d’un point quelconque de l’hyperbole on abaisse les deux coordonnées rectangulaires, ces coordonnées seront les demi-axes d’après lesquels, en construisant une autre ellipse concentrique, on aura la projection, sur le plan des +, Y, d’une des lignes de courbure de l’ellipsoïide. Construisant de la même manière tant d’ellipses qu’on voudra, on aura les projections de toute la suite des lignes d’une des courbures de la surface. De même, si d’un point quelconque de l’ellipse auxiliaire on abaisse les deux coordonnées rectangulaires, elles seront les demi-axes d’une hyperbole concentrique; chacune des hyperboles construites de cette manière coupera toutes les ellipses, et réciproquement; et leur système sera la projection de toute la suite des lignes de l’autre courbure.

La quantité «° — b° étant toujours moindre que a° — c?, il s’ensuit que l’axe commun de l’ellipse et de l’hyperbole auxiliaires, et

24 Va?— b?

qui a pour expression ——, est plus petit que le grand axe 24 Va —c”

de l’ellipsoïde; que, par conséquent, les sommets communs de ces

deux courbes tombent en dedans de lellipse principale. D'après

cela , il est évident que la plus petite des ellipses, projections des

lignes de courbure, a pour grand axe cet axe commun, et que son

petit axe est nul : elle se confond donc avec la ligne des x; d’où il

suit que l’ellipse principale qui est dans le plan des x, z, est elle- Lo

MG

même une des lignes de courbure de la surface. À mesure que Île grand axe des ellipses croît, le petit axe croît aussi; et lorsque le premier de ces axes est égal au grand axe de l’ellipsoide, l’ellipse se confond avec l’ellipse principale du plan des æ, y, qui est donc aussi une ligne de courbure. En effet, si dans l’équation de lhyperbole auxiliaire n° — An? = B, on fait m» — a, et si l’on remet pour A et B leurs valeurs, on trouve 7 — b. Il est inutile de construire des ellipses plus grandes que cette dernière; elles tomberaient toutes en dehors de l’ellipsoïide, et seraient étrangères à notre objet.

On voit donc que chacun des deux sommets communs de lhyperbole et de l’ellipse auxiliaires est embrassé d’un même côté par toutes les ellipses, qui se resserrent toujours à mesure que leurs sommets en approchent, et qui ne perdent leur petit axe que quand elles l’atteignent.

Quant aux hyperboles, il est clair qu'aucune d’elles ne peut avoir, dans le sens des x, un axe plus grand que l'axe commun de l’hyperbole et de l’ellipse auxiliaires. Celle pour laquelle l'axe à cette grandeur a son autre axe nul, et se confond avec la ligne des x; à mesure que cet axe diminue, l’autre augmente, de manière que, lorsque celui-ci est à son maximum, le premier devient nul à son tour, et alors les deux branches de l’hyperbole se confondent avec la ligne des y. Aïnsi la troisième ellipse principale est encore, comme les deux autres, une des lignes de courbure de la surface. Chacun des sommets communs de l’hyperbole et de l’ellipse auxiaires est embrassé par toutes les hyperboles, mais du côté opposé à celui pour lequel les ellipses l’embrassent. Les hyperboles se resserrent à mesure qu’elles approchent de ces points, et elles ne perdent leur petit axe que lorsque leur sommet les atteint.

Ces points vers lesquels et les ellipses et les hyperboles tournent toutes leurs concavités sont les projections de quatre points très-

remarquables sur la surface courbe; deux d’entre eux sont placés au-dessus du plan des +, y, et deux au-dessous. Ce sont quatre ombilics autour desquels les lignes des deux courbures sont pliées, toutes les unes d’un côté, et toutes les autres du côté opposé. Ces lignes se resserrent à mesure qu'elles en approchent, et, dès qu’elles les atteignent, elles changent d'espèce.

Les projections des lignes de courbure ne sont des courbes d’espèces différentes pour les deux courbures que parce que le plan de projection n’est pas placé d’une manière symétrique. En effet, les trois axes de l’ellipsoide étant supposés inégaux, c’est sur le plan, mené par le plus grand axe et par le moyen, qu'on aurait trouvé, par la même raison, des résultats absolument analogues; mais en choisissant le plan mené par le plus grand axe et par le plus petit, les projections des lignes de courbure sont de la même espèce; elles se construisent toutes par la même loi, et leur construction est plus propre à être employée dans les arts.

Pour avoir l'équation de la projection des lignes de courbure sur le plan des +, z, il faut, de l'équation de la surface courbe

Don ta co Ye aib za "bc7,

éliminer y au moyen de l'équation de la projection, sur le plan

des x, y, HMS TROT NI

dans laquelle on a d’ailleurs, entre les deux constantes arbitraires

m, n, la relation suivante :

He. b.

ce qui réduit ces constantes à une seule. Cette élimination est

RES rendue plus facile par l'équation identique

A b° —- B — DE et donne

c?(a? — m°) Bx° + a*b*mAz° = a°c°r (a*® — m°),

dans laquelle toutes ambiguïtés de signes se sont détruites. Or nous avons vu que la quantité 7, qui est l’axe dans le sens des x des sections coniques de-la première projection, ne peut Jamais excéder l’axe correspondant a de l’ellipsoïide ; la quantité a°— 1° sera donc toujours positive, et l’équation que nous venons de trouver sera celle d’une ellipse concentrique à la surface courbe, dont les axes seront dirigés suivant la ligne des x et celle des z, et qui ne changera pas d'espèce. Soient m", n’les grandeurs des deux demi-

axes de cette ellipse, on aura

TA a°m° HAE B ?

AOC NU — m°).

? RNA

et, éliminant la constante m, qui est étrangère à la projection actuelle, on trouvera que les deux demi-axes de cette ellipse doivent

avoir entre eux la relation suivante :

c?Bm'? + a°b?An? — a'c°.

Or cette équation est elle-même, en mn”, n", celle d’une ellipse déterminée ; donc les deux demi-axes de chacune des ellipses de la projection sur le plan des x, z, sont les deux coordonnées rectangulaires d’un même point, pris sur une ellipse qui est la même pour

: a A toutes, et dont les demi-axes ont pour grandeurs dans le même B

ac sens des mn", et en dans le sens des x’. Enfin, remettant pour A

et B leurs valeurs, les grandeurs des demi-axes de cette dernière

: x aVa? — c° c Va? — c? IR :

elkpse sont respectivement "et ————; d'où suit la Va? — D? Vbhese construction suivante.