CBI GE DATE OC
on donne à m1 la valeur & du grand axe de l’ellipse principale, et en faisant usage de l’équation identique Ab° + B — «°, on trouve pour l’ordonnée 7” la valeur c du petit axe. Donc, si aux extrémités des deux axes de l’ellipse principale on lui mène des tan-
sentes, ces tangentes, qui seront d’ailleurs rectangulaires entre elles, se rencontreront en un point de l’ellipse auxiliaire. Ce point de rencontre divise le quart de l'ellipse auxiliaire en deux parties, dont l’une sert à la construction des lignes de l’une des courbures, et dont l’autre sert à la construction des lignes de l’autre courbure.
En effet, la partie du quart de l’ellipse auxiliaire qui avoisme son premier axe produit des ellipses qui toutes ont leurs grands axes plus grands et leurs petits axes plus petits que les axes correspondants de l’ellipse principale. Ces ellipses, qui se resserrent à mesure que leur grand axe s’allonge, et qui se confondent avec la ligne des .v lorsque le grand axe est égal à celui de l’ellipse auxiliaire, divisent l'aire de l’ellipse principale en zones dirigées dans le sens du grand axe, et sont les projections des lignes d’une des courbures. Au contraire, la partie du quart de l’ellipse qui avoisine son second axe produit des ellipses qui toutes ont leurs axes dans le sens des x plus petits, et ceux dans le sens des z plus grands que les axes correspondants de l’ellipse principale. Ces ellipses, qui se resserrent à mesure que l’axe, dans le sens des z, croît, et qui se confondent avec la ligne des z lorsque cet axe est égal à celui de l’ellipse auxiliaire, divisent l’aire de l’ellipse en zones dirigées dans le sens de la ligne des z. Chacune d’elles coupe donc toutes celles de la première espèce en quatre points qui sont compris en dedans de l’ellipse prin-
cipale ; donc elles sont les projections des lignes de l’autre courbure.
VLTTe
Dans la dernière projection, si par les extrémités des axes de l’ellipse auxiliaire, prises deux à deux, on mène quatre lignes droites, ce qui formera un parallélogramme équilatéral, toutes les ellipses, projections des lignes de courbure, seront inscrites dans
ce parallélogramme, dont chacune d'elles touchera les quatre côtés.
En effet, si de l'équation de ces ellipses
lo » 1° 3 > n°x + m°z — m?n?.
on chasse la quantité nm au moyen de l'équation de l’elipse auxi-
haire
c?Bm'° + a°b°An"° — a'c?, l'équation résultante ordonnée par rapport à n' q PP ; a’b'An-+ n° |c°Bx° — a*b°Az? — a'c°] + a'c?z° — 0, sera celle des ellipses, projections des lignes de courbure, et qui ne diffèrent entre elles que par la valeur particulière de la constante »”. Pour avoir enveloppe de toutes ces ellipses, c’est-à-dire la ligne qui termine l’espace qu'elles occupent sur le plan de projection, il faut différentier cette équation en regardant 7’ comme
seule variable, et éliminer 7” au moyen de cette différentielle. Or.
en différentiant, on a 24 0 AN + c° Br a bAzi— ac? — 0;
done, en éliminant »"°?, on aura pour équation de l'enveloppe de toutes les ellipses
[c°? Bx° — a*b*Az° — d'C|" abc "Az" — 0:
Mais le premier membre de cette équation est la différence de deux
carrés ; l'équation elle-même se décompose donc dans les deux
facteurs CABxr? — a°b'Az° — ac? + 2a*bcz VA 07
CObr ee. do Az de — 920 bez VA —0,
qui, étant eux-mêmes chacun la différence des deux autres carrés,
se décomposent dans les quatre facteurs Cx VB + abz VA + HCE=0:
cr VB «DZ VA ac: —10; ir VB + abz VA + 4 C0; cx VB — abz VA + Li 0
ou, remettant pour À et B leurs valeurs
9 7e Oo] F / 2 2 Cr Va — 0? + az VLE — © Hac\ai 6 —=0, — cu Va SRG ER GENRE O, = cn Vat-PEPGzN DES Enr O,
cx \/ a* — D° — az VUE — C? + ac Va — © — 0,
qui sont les équations des quatre droites menées par les extrémités des axes de l’ellipse auxiliaire, prises deux à deux.
La plupart des autres surfaces ont des ombilics analogues à ceux que nous avons remarqués sur celle de l’ellipsoide, et il est facile de trouver leurs positions avant même que d’avoir intégré l’équation des lignes de courbure; car les ombilics sont les points dans lesquels les lignes des deux espèces de courbure se changent l’une en l’autre, et, par conséquent, pour chacun desquels les deux lignes de courbure se confondent. Ces points sont donc ceux pour les-
l Q f C: (À L4 quels les deux valeurs de . que fournit l’équation générale des
lignes de courbure, sont égales entre elles; et l’on aura une relation entre leurs coordonnées, en égalant à zéro le radical par lequel ces deux valeurs diffèrent entre elles. Faisons-en l'application au cas
RO
de l’ellipsoide, pour lequel l'équation générale différentielle des lignes de courbure est
dy pe er Ay° —B] mt -- 0;
AY
dx?
Si, après avoir résolu cette équation du second degré algébrique, on égale à zéro le radical, on aura
[x° — Ay° — Bf° + 4Ax°y° — 0,
dont le premier membre est la somme de deux carrés, et qui ne peut rien exprimer de réel, à moins qu’on n’égale à zéro la racine de chacun de ces carrés; ce qui donne en même temps les deux
équations
LT 0, X° — Ay —B—0;
mais la première de ces équations a elle-même deux facteurs qui peuvent avoir lieu séparément. Donc nous avons deux cas à considérer :
1° le cas où l’on aurait en même temps
ÿ—=0o et x°—Ay*—B—o; 2° celui où l’on aurait en même temps
&— 0 “et x Ay —B—o0.
Le premier cas donne
INA = De Y —= 0 et DD
ce sont les coordonnées que nous avons trouvées pour les projections des ombilies sur le plan des x, y.
Le second cas donne
