XVII

DE LA GÉNÉRATION DE LA SURFACE COURBE DONT TOUTES LES LIGNES D’UNE DES COURBURES SONT DANS DES PLANS PARALLÈLES À UN PLAN DONNÉ.

Pour simplifier les opérations, nous supposerons d’abord que le plan donné soit perpendiculaire au plan des x, y. Cette hypothèse n'altérera en aucune manière la figure de la surface courbe; elle ne produira d’autre effet que de lui donner une position déterminée dans l’espace. Ensuite, et lorsque nous aurons trouvé la génération de la surface considérée dans cette position particulière, nous passerons au cas général, pour lequel nous n’aurons plus à faire que des opérations analogues, et nous pourrons exposer ces opérations d'une manière plus rapide.

Soit y — ax l'équation du plan mené par l’origine, et auquel doivent être parallèles tous les plans qui contiennent les lignes de courbure; l'équation générale de ces plans sera

= re,

dans laquelle a est une constante absolue dont la valeur est la même pour tous les plans, et # est une quantité constante pour chaque plan et variable d’un de ces plans à l’autre. Pour chaque ligne de courbure en particulier, « sera donc constante, et, en différentiant,

on aura

dy v.

Donc, en substituant cette valeur de a dans l’équation de la pro-

jection des lignes de courbure dy” 2 m élus }s— pat] + 3% 1 +4 tt ) TE E Gt Epepr] on aura | a[(L+.97}s + pat] + [EEE PRIT

e —[(t+p")s—pqr] ou, ordonnant par rapport aux différences secondes, (r+as) [a(i +?) +pq]=(s+ at) [1 +p°+ apq], équation qui, exprimant la relation que doivent avoir entre elles les quantités p, q, r,s,t pour que les lignes de courbure soient dans

des plans parallèles au plan donné, est, aux différences partielles secondes, celle de la surface demandée.

IT

Pour trouver les deux équations aux différences partielles du premier ordre, nous rechercherons d’abord celle de la caractéristique de la surface. Pour cela, après avoir fait, pour abréger,

a(i+q°)+pq=M, 1+p°+apq=N, ce qui réduit l'équation aux différences secondes à la forme plus

simple (r+as)M— (s+at)N — 0,

nous la différentierons en regardant r, s, t comme seules variables: et, en nommant R, 5, Tles coefficients respectifs des différentielles de ces trois quantités, nous trouverons