CR

et l'équation de la caractéristique sera Mdy* — (aM — N)dx dy — aNdx° — 0, qui peut être mise sous la forme (dy — adx) (Mdy + Ndx) — 0.

Or cette équation a deux facteurs; donc la surface que nous considérons a deux caractéristiques indépendantes, et dont les projections sur le plan des‘ x, y ont pour équations séparées et distinctes :

dy — adx — 0, Mdy + Ndx — 0.

La première de ces équations est celle d’un plan parallèle au plan donné; d’où il suit que l’une des caractéristiques est la ligne même de courbure qui doit être dans ce plan.

Nous opérerons ensuite pour chacune de ces caractéristiques en particulier, et d’abord pour la première.

La seconde équation de cette caractéristique n'est autre chose que celle

(r+as)M— (5 + at)N — 0

de la surface courbe, sur laquelle elle existe tout entière. Done, si de cette dernière équation on chasse r, s, { au moyen des deux équations

UD MO ce sdy, dqj—=sdx +tdy, qui ne sont que les définitions de ces trois quantités, et si l’on fait dy — adx = 0,

ce qui a lieu pour la caractéristique, la seconde équation de cette

courbe sera Map — Ndg — 0.

Ainsi, en remettant pour M et N leurs valeurs, on aura, pour la caractéristique, les deux équations aux différences ordinaires

dy — adx = 0, [a(r + g°) + pa]dp — (à +p°+ apq)dq = 0.

Or ces équations sont toutes deux intégrables; cela est évident pour la première. Quant à la seconde, si l’on ajoute à chacun des coefficients de dp et dq ce qu'il faut pour que la quantité 1+p° + q° y entre complétement, et si l’on retranche ensuite ce qu’on aura

ajouté, on aura G+p* + g") (adp — dq) — (ap — q) (pdp + gdgq) = 0, équation séparée. Donc les deux équations intégrales de la caractéristique sont Y — ax = à’, AD SEP RESTES V I + P° + JA a et « étant les deux constantes arbitraires. La surface est donc telle que, si la première de ces équations a lieu, la seconde a aussi lieu nécessairement, c’est-à-dire que, si « est constant, «’ est aussi constant. Donc les quantités æet«’ sont constantes ensemble et variables ensemble; donc la première équation de la surface aux différences partielles du premier ordre est

(a) ja en

Vi pig:

Quant à l’autre caractéristique, si, au moyen de sa première équation Mdy + Ndx — 0, on chasse M et N de l'équation de la surface

(r + as)M — (s + at)N — 0,

et si de celle-ci on élimine r, s, t par leurs équations dp = rdx + sdy, dq = sdx + tdy, on aura pour seconde équation de cette courbe : dp + adq = o.

Ainsi, en remettant pour M et N leurs valeurs, et à cause de z— pdx + qdy, on aura, pour la seconde caractéristique, les deux équations aux différences ordinaires |

dx + ady + (p + aqg)dz — 0, dp + adq — 0.

Or, de ces deux équations, la seconde est évidemment intégrable ; quant à la première, elle le devient par l’addition de la quantité z (dp + adq), qui est nulle en vertu de la seconde; donc les deux équations intégrales de cette courbe sont

2+ ay + (p+ag)z= 6, PSS Mer

Donc, en raisonnant comme pour l’autre caractéristique, les deux quantités £ et £' sont fonctions l’une de l’autre, et la seconde équation aux différences du premier ordre de la surface est

(b) æ + ay + (p + 4aq)z = N(p + aq).

La marche que nous venons de suivre pour parvenir de l’équation en différences secondes aux deux équations en différences premières, est une véritable intégration; nous avons tâché d’en rendre le procédé clair par la géométrie.

Les deux mtégrales premières (a), (b) sont, chacune en particulier, d’une forme que l’on sait traiter; mais, parce qu'elles appartiennent toutes deux à la même surface, elles se prêtent un secours mutuel

pour leur intégration, comme nous allons l’exposer d’une maniere générale.

Si l’on avait, entre les cinq quantités x, y, z, p, q, une troisième équation qui appartint encore à la même surface, et qui füt obtenue par une autre considération ; intégrale finie serait le résultat de l'élimination de p et de q entre ces trois équations. Or on a

dz = pdx + qdy,

qui résulte de la définition des quantités p et q. Il ne s’agit donc que de l'intégrer pour avoir cette troisième équation. Si p et g étaient constantes, l’intégrale de dz = p dx + qdy serait 3 = PX + qY + À, dans laquelle À serait une constante arbitraire absolue; mais, p et q étant toutes deux variables, il faut : 1° que A soit une fonction arbitraire des deux quantités p et q, qu'on a regardées comme constantes dans l'intégration; 2° que cette fonction soit telle, que les différentielles de l’intégrale, prises en regardant successivement p et q comme seules variables, soient satisfaites; ainsi, en représentant par 7 la fonction arbitraire de p, q, on aura les trois équations

qui appartiennent, en général, à toutes les surfaces courbes. Pour qu'elles appartiennent seulement aux surfaces que nous considérons, il faut que la fonction 7 soit telle, que les cinq équations (a),

(b), (ce), (d), (e) puissent avoir lieu en même temps, ou qu’en éli-

hé ST à

A Ne

minant entre elles les trois coordonnées +, y, z, les deux équations résultantes en p, q, 7, 7,7" soient satisfaites. De ces deux équations résultantes on tirera les valeurs de 7,7” en pet q, en les substituant dans

| dr = r'dp + x"dq;

on aura, entre les trois variables p, q, 7, une équation aux différences ordinaires, qui tiendra lieu des deux résultantes, et, par conséquent, de deux quelconques des cinq équations (a), (b), (c), (d), (e). Cette équation appartiendra toujours à une surface courbe, c'est-à-dire pourra toujours être rendue intégrable par un facteur, lorsque (a) et (b) appartiendront elles-mêmes à une même surface courbe; ce qui a lieu dans le cas présent, puisque (a) et (b) sont les deux intégrales premières d’une même équation aux différences secondes. :

L'intégrale de cette équation donnera en p et q la forme de la fonction 7, que l’on substituera dans trois quelconques des équations (a), (b), (c), (d), (e), par exemple dans les trois dernières; et l'intégrale finie de l'équation aux différences partielles secondes sera le résultat de l’élimination de deux indéterminées p et 4 entre ces trois équations.

Nous allons appliquer ce procédé au cas présent.

Pour abréger, nous représenterons par les lettres simples x et £ les quantités qui sont sous les fonctions, ce qui donnera

CRT sn LR 00) Vi+p°+q* A AL IEAE 2 2 PP OT ae FENTE

Ra — a

puis, éliminant x, y, z entre les cinq équations (a), (b), (c), (d), (e), on aura les deux résultantes

(Ep + a)m" + (6g + a)7" = Em — 6, (TI TE Da, desquelles on tirera les valeurs suivantes de 7’ et 7° : Ga+a+fpt)r =fr—df+la(i +g*) +pqlee, {+ a +f*)r" = apr — ad B—|[1 + p° + apq |@4,

qui, étant substituées dans dr — 7’ dp+ 7" dq, et mettant pour dp et dq leurs valeurs en «, 6, du, dB, donnent, pour équations aux différences ordinaires,

(1+a°+6°)dr —rdé pada ps UE dE G+a+fp} (tÉtT cn) G+a+p)

Le premier membre de cette équation est une différentielle exacte; dans le second, les variables sont séparées, en sorte que, si les fonctions ® et A étaient déterminées et données, l'intégration de ce membre ne dépendrait que des quadratures; mais, dans le cas présent, où les fonctions o et sont arbitraires, le second membre doit ètre regardé comme composé des différentielles de deux autres fonctions arbitraires, l’une de z et l’autre de £. Représentant done ces nouvelles fonctions par d’autres caractères ® et Y, dont le dernier même exprime ce que devient la fonction quand on a fait disparaître le dénominateur de l'intégrale, cette intégrale sera

T — Da.V(1 LICNTAREE g°) —+- es

remettant pour # et f les quantités qu’elles représentent, et substituant ensuite pour 7 sa valeur dans les trois équations (c), (d), (e),

don —

la première deviendra

4 ef x 2 2 ap — q + , re 2—px+qy+N\/|1+a+( p+ag)|® = He Vire AO); px+q7+VI +(p+aq)] (= > =) (p+ aq)

enfin, représentant par M—o cette équation, l'intégrale finie sera le résultat de l'élimination des deux quantités p, q entre les

équations

La première de ces équations étant celle d’un plan, il s'ensuit que l’intégrale présente la surface dont nous nous occupons, comme l'enveloppe de l’espace parcouru par un plan qui se meut en vertu de la variation de deux des constantes qui entrent dans son équation, c’est-à-dire que l'intégrale définit la surface par la propriété de son plan tangent. Il serait facile de déduire de là la génération de cette surface ; mais d’autres considérations vont nous conduire à un nouveau résultat intégral, qui nous fournira une génération plus simple.

: \tès

Nous avons vu que les deux équations de la seconde caracté-

ristique sont x + ay + 6: = V6, P+aqg—$.

Nous savons, d’ailleurs, que les équations de la normale à la surface / ! ! É courbe sont en « ,Y ,7, / 4 4 ; Ton Lut(z 2 )p=0,

pr +(—#)ge.

Donc on aura, en æ’, y”, z’, l'équation de la surface qui est le lieu de la suite des normales menées par les points de la même caractéristique, en éliminant entre ces quatre équations trois des cinq quantités +, y, z, p,q. Mais, si l’on élimine trois de ces quantités,

les deux autres disparaissent, et l’on a : V4 x" + ay" + Bz— AB,

dans laquelle £, qui est constante pour une même caractéristique, est aussi constante pour la même surface des normales. Donc cette dernière surface est plane; donc la seconde caractéristique est l’autre ligne de courbure de la surface, ligne qui, comme la première, est une courbe plane, mais qui n’est pas, comme elle, dans un plan constamment parallèle à lui-même.

Connaissant l'équation des surfaces développables normales, relatives à la seconde courbure, il sera facile d’avoir celle de la surface des centres de la première courbure. En effet, cette surface des centres, étant touchée par toutes les surfaces développables normales de la seconde suite, peut être regardée comme leur enveloppe; et son équation sera le résultat de l'élimination de £ entre l'équation

x + ay + Bz' = 86

des surfaces développables normales, et / 6 UE,

qui est sa différentielle, prise en regardant £ comme seule variable. Or l’élimmation dont il s’agit est praticable, quoique la fonction 4 soit arbitraire, car la seconde de ces équations exprime que B est une fonction arbitraire de z/; et, en substituant cette valeur dans la première, on aura un résultat composé, d’une manière arbitraire, des deux quantités z’ et x’ + ay’. Donc, représentant par Y une nouvelle fonction arbitraire, l'équation de la surface des centres de

la première courbure sera z' — Y(x'+ ay’).

Donc cette surface est celle d’un cylindre à base quelconque, et dont la droite génératrice est constamment perpendiculaire au. plan donné.

On ne peut pas, de la même manière, éliminer à la fois x, y, z,

p, q entre les équations de la normale

de la ligne de première courbure; en sorte que l'équation de la surface développable de la normale

Var + æ(z— 2) Vi + p°+q = Pa,

que l’on trouve par l'élimination des x et y, n’est pas entièrement indépendante du point de la surface et du plan tangent en ce point. Mais, si x”, y’, z’ sont les coordonnées du centre de courbure , la

quantité (z— z') V 1 + p° + q° est l'expression du rayon de courbure que nous avons représenté par R; on aura donc

y” — ax + aR — pe,

pourvu que les coordonnées x”, y” soient déterminées à ètre celles du centre de courbure. Or cette condition aura lieu si les coordonnées et le rayon R ne changent pas de grandeur quand a Variera, c'est-à-dire quand on passera d’une surface développable normale

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