TE

à la suivante; et alors le rayon R sera celui de la seconde courbure. Il faut donc différentier cette équation en regardant 4 comme seule variable, ce qui donnera Le R= P «a;

et, éliminant, on aura, entre x”, yet R, une relation indépendante du point que l’on considère sur la surface courbe. Quoique la fonction @ soit arbitraire, l'élimination de # est praticable; et, en représentant par ® une nouvelle fonction arbitraire, on aura

R—%@(y"— ax’);

donc le rayon de la seconde courbure est l’ordonnée, dans le sens des z, d’une autre surface cylindrique à base quelconque, et dont la droite génératrice est en même temps parallèle et au plan donné et à celui des x, y.

Les lignes de la première courbure étant dans des plans parallèles entre eux, et la surface des centres de cette courbure étant cylindrique et perpendiculaire à ces plans, il s’ensuit que le plan de chaque ligne de la première courbure coupe la surface cylindrique des centres dans une courbe dont cette ligne de courbure est une développante. Si donc on concoit une nouvelle surface cylindrique parallèle à celle des centres, et dont la base serait une développante de celle de la surface des centres, son équation en x”, y”, z° sera.

2 FE Etre

F étant une fonction dérivée de Y, et qui pourra être prise arbitrairement si, désormais, on ne considère plus la fonction Y; et chaque ligne de la première courbure aura tous ses points à la même distance de cette nouvelle surface. De plus, cette distance constante pour chaque ligne de la première courbure, et variable d’une de ces lignes à une autre, est constante et variable en même temps que

le rayon R de la seconde courbure; elle est donc fonction de ce rayon, et son expression sera

(y — ax’),

la fonction f, dérivée de ®, pouvant elle-même être prise arbitrairement si l’on cesse de considérer ®.

Actuellement, si l’on conçoit qu'une sphère variable de rayon, roulant sur la surface cylindrique dont l’équation est

ZT TOYS),

en touche successivement tous les points, et que, dans chaque position, son rayon soit égal à l’ordonnée z’ de la surface cylindrique dont l'équation est

20e) M) CU),

il est évident que la surface courbe parcourue par le centre sera la surface demandée. Or, x, y, z étant les coordonnées du centre, l'équation de la surface de la sphère mobile est

x) + (y y + —F(e + ay) = [f(y"— ax");

donc, en représentant cette équation par M — o, l’équation de la surface demandée sera le résultat de l'élimination des deux indéterminées x”, y” entre les trois suivantes :

M0; HAE LUE (Ca) Fra

re A We

résultat qui présente la génération de la surface d’une manière plus facile que celui auquel nous avons été conduits par l'intégration directe.