NES

D'après l’article précédent, si l’on prend deux surfaces cylindriques à bases quelconques et parallèles au plan des x,y, mais telles que la droite génératrice de la première soit perpendiculaire au plan donné, et que celle de la seconde soit parallèle au même plan; puis, si par un point pris à volonté sur le plan des x, y, on mène une ordonnée z indéfinie; enfin, si sur cette ordonnée on prend un point dont la distance à la première surface cylindrique soit égale à l’ordonnée correspondante z de la seconde, ce point sera dans la surface demandée.

Il suit de là que: S% sur un cylindre à base quelconque, et dont la droite génératrice soit perpendiculaire au plan donné, on pousse une moulure d'un profil quelconque, mais constant, et qui ceigne le cylindre parallèlement à sa base, la surface de cette moulure sera la surface générale demandée.

Il est de même évident que si une surface de révolution quelconque, constante de figure, et dont l’axe soit toujours perpendiculaire au plan donné, se meut sans changer de distance à ce plan, et de manière que son axe engendre une surface cylindrique à base quelconque, l'enveloppe simple de l’espace parcouru par cette surface mobile sera encore la surface générale demandée. Cette dernière génération, qui ne produit qu’une enveloppe simple, conduit à une intégrale qui peut être représentée par deux équations seulement, entre lesquelles on doit éliminer une arbitraire; mais c’en est assez pour cet objet.

VIT

Nous avons vu que la ligne de la seconde courbure de la surface est dans un plan dont l’équation est

Ve, 7 #7 Do AY Er pe

dans laquelle 8 est une constante arbitraire qui recoit différentes | Ï ; valeurs pour les différentes lignes de courbure. Or, si l’on compare 5 - P ce plan au plan donné, dont l’équation est

AaX — ÿ —= 0,

on verra qu'il lui est toujours perpendiculaire, quelles que soient et la valeur de B et la forme de la fonction 4 ; car la somme des produits des coefficients de x, des coefficients de y et de ceux de z, dans ces deux équations, est égale à o. Donc la surface a deux propriétés inséparables, et par chacune desquelles elle pouvait être également définie: 1° d’avoir toutes les lignes d’une des courbures dans des plans parallèles à un plan donné; 2° d’avoir toutes celles de l’autre courbure dans des plans perpendiculaires au même plan. Les surfaces de révolution, qui sont un cas particulier de celle-ci, en fournissent un exemple sensible.

Pour toutes les surfaces que nous avions considérées jusqu’à présent, et dont les équations intégrales contenaient deux fonctions arbitraires, la quantité qui, dans chaque équation, se trouvait sous les deux fonctions était la mème, soit qu’elle fut déterminée en x, Y, 3, Soit que ce füt une indéterminée +, dont la valeur était indifférente, et qui devait disparaître par l'élimination. C'était à cette circonstance que tenait la facilité que nous avons eue de les construire et de déterminer les formes des fonctions pour que la surface individuelle passät par deux courbes données ou enveloppât deux surfaces données. Pour la surface dont nous nous occupons ici, les quantités qui sont sous les fonctions sont différentes : sous l’une, c’est x’ + ay’; sous l’autre, c’est y’ — ax’. Cette circonstance fait que la surface n’est déterminée, par la connaissance des deux courbes qu’elle renferme, que quand ce sont certaines courbes

particulières : par exemple, la surface actuelle est déterminée si l'on connaît le profil de la moulure et la courbure que parcourt un des points de ce profil, parce que ces deux courbes sont les deux lignes de courbure d’un même point de la surface, et, dans ce cas, la construction est très-facile. Mais, si l’on donnait deux courbes arbitraires par lesquelles la surface düt passer, cette surface ne serait pas déterminée, et la détermination des fonctions dépendrait du calcul général des équations aux différences finies, qui mtroduirait de nouvelles arbitraires, et dont nous ne nous occupons pas encore.

Pour le cas général dans lequel le plan donné aurait une position quelconque, les raisonnements seront absolument les mêmes: nous nous contenterons d’en indiquer ici les résultats d’une manière rapide. Soit

Ax + By + Cz — 0

l'équation donnée du plan mené par l’origine, et auquel doit être parallèle celui dans lequel se trouve la ligne de courbure; l'équation de ce dernier plan sera

Ax + By + Oz — 0,

dans laquelle + sera constante pour chaque ligne de courbure, et, en différentiant, on aura

(À + Cp) dx + (B + Ca) dy = 0.

: : d a , Substituant la valeur de e que donne cette équation dans l’équation (E) des lignes de courbure, et faisant, pour abréger,

(B + Og) pq — (A + Cp) (1 + g°) = M, (À + Gp) pq — (B+ Cg) (1 +p°?) =N,

l’équation aux différences partielles secondes de la surface sera [(B+ Cg)r — (A + Cp}s]M + [(B + Cg)s — (A + Cp}t|N = 0.

Si l’on différentie cette équation en regardant r, s, t comme seules variables, on aura

hé (B HE Cg) M,

S — (B + Cg)N — (A + Cp) M,

T= — (A + Cp) N; et, substituant ces valeurs dans l’équation générale des caractéristiques pour le second ordre, on aura

[(B + Cg) dy + (A + Cp) dx | (Mdy — Ndx) — 0,

qui, ayant deux facteurs, indique que la surface a deux caractéristiques dépendantes, et dont les équations séparées sont

(B + Cg)dy + (A + Cp) dx — 0,

Mdy — Ndx — 0.

Employant la première caractéristique, dont l'équation peut être mise sous cette autre forme Adx + Bdy + Cdz = 0,

on voit d’abord que cette courbe n’est autre chose que la ligne de courbure elle-même, qui doit être dans un plan parallèle au plan B un Cg 7 . ee,

+ de l'équation aux différences se- A en q érences se condes, et remettant pour r,s,t leurs valeurs, on trouve, pour

donné; chassant ensuite

seconde équation de cette première caractéristique,

Mdp + Ndq = 0,

ou, en remettant pour M et N leurs valeurs, et réduisant, [Bpg— Cp —A(1 + q°)]dp + [Apg —Gq —B(1 + p°)]dq = 0,

qui, en ajoutant et retranchant ce qu'il faut pour que la quantité 1+ p° + q° entre complète dans chacun des coefficients, devient

l'équation séparée (1+p°?+q°) (Adp + Bdq) — (Ap +Bq — CG) (pdp + qdq) = 0;

donc les deux équations aux différences ordinaires de la première caractéristique sont intégrables, et leurs intégrales sont

Ax + By + Cz — x”, Ap + Bq —C ed |,

Vi ve p° LE q° dans lesquelles les deux arbitraires « et 4”, introduites par l’intégration, sont toutes deux constantes pour la même caractéristique, et varient d’une caractéristique à une autre; donc, pour toute l’étendue de la surface, ces deux quantités sont constantes ensemble, et, par conséquent, fonctions l’une de l’autre. On aura donc, pour première équation aux différences partielles du premier ordre,

Vi+p°+ 9°

Opérant d'une manière analogue pour la seconde caractéristique,

dont l'équation est

May — Ndx — 0,

N M? et

remettant pour 7, $, t leurs valeurs, on trouve, pour seconde équa-

c’est-à-dire chassant de l'équation aux différences secondes

tion aux différences ordinaires de la même caractéristique,

(B + Gg) dp — (A + Gp) dg = 0,

qui est séparée, et dont l'intégrale est

B + Cg Lg A+Cp. (1?

B étant une quantité constante pour la même caractéristique, et dont la différentielle est, par conséquent, nulle, tant que le point de la

; : ; B surface ne sort pas de cette courbe. Substituant ensuite pour A PC: cette valeur dans l’autre équation

Mdy — Ndx — 0, à cause de

dz = pdx + qdy, on trouve

Bdx — dy + (Bp — q)dz — 0,

dans laquelle 8 est une constante, et qui, par l’addition de la quantité z (Bdp — dg), qui est nulle, devient

Bdx — dy + d[z(Bp — q)| = 0, qui est une différentielle exacte, et dont l'intégrale est

Ba — 7 + z(Bp — q) = 6", ou

B(x + pz) — (y +gz) = 7, ou enfin, remettant pour G sa valeur,

(B + Og) (x + pz) — (A + Cp) (y + gz) = (À + Cp)£.. Les quantités B et 6”, étant constantes pour la même caractéristique, sont fonctions l’une de l’autre; donc la seconde équation aux dif- férences partielles du premier ordre sera

| : ; {B+ Ca (B+-Gg) (æ + pz) — (A + Gp) (y +42) = (A + Cp) (ice)