XI

Pour obtenir l'intégrale en quantités finies, nous ferons, pour abréger, era ma à Ap + Bq — C = 7, Vi+p°+q° B+Cg 2 2UNE 2e À EC 1+p +g—=k",

et les deux intégrales premières deviendront (a) Ax + By + Cz = pa, 6) (B+Gg)(x+pz) — (A+ Op) (r + 93) = (À + Cp) Ÿ£.

Substituant, dans ces deux équations, pour x, y, z leurs valeurs prises dans (c), (d), (e) (S XVII), on aura les deux résultantes

(47 — BE)7"— (py —AK)7"= (Ag — Bp)7 + (À + Cp)Ÿf, (A + Cp)r +(B + Cqg)7r”—= C7 — pa, desquelles on tirera les valeurs suivantes de 7’ et 7” : [7° — (A+ B°+C°)4*]7"= [Ay — (A? + B° + C’)p|r

— (py— AK) ça + (À + Cp) (B + Cg)Ÿ8,

[7° — (A +B°+0C°)#]7"= [By — (A° + B° + C°)g]7 — (gy—BA')qe — (A + Cp) 46, qui, substituées dans dr — z'dp + x"dq, donneront

[7° — (A+ B°+C°) 2 ]d7 —7.[ydy— (A°+B° +0?) 4dé] = £a. (ykdhk— Kdy) + (A + Gp) +6[(B + Gg) dp — (A + Cp) dg], équation aux différences ordinaires qui, divisée par x

— IOI — devient à : 3 pxde C’YBdE | DAC PDEE COR PRE EC ET CAC EE) BAPE

dans lesquelles les variables sont séparées. Si donc les fonctions 7 et -} étaient déterminées et connues, l'intégrale de cette équation dépendrait des quadratures. Mais si, comme dans le cas présent, les fonctions sont arbitraires, elles absorbent les facteurs qui les affectent, et les deux termes du second membre doivent être regardés comme les différences exactes de deux fonctions arbitraires, l’une de z, l’autre de 8. Représentant donc ces nouvelles fonctions par les caractères ®, Y, ou, pour mieux dire, ce qu’elles deviennent l’une et l’autre lorsqu'on fait évanouir le dénominateur du premier

membre de l'intégrale, on aura 7 = ka + (A + Cp) WY£.

Remettant pour «, B, les valeurs qu’elles représentent, et substituant ensuite pour + cette valeur dans (c), (d), (e), la première deviendra

PAT SRE NC Ve Bq—C\ (B+C pe TE (ES)

et, représentant cette équation par M — o, l'intégrale finie sera le résultat de l'élimination des deux indéterminées p, q entre les trois

suivantes :