MIT

en éliminant 6 entre les deux équations suivantes :

ou, ce qui revient au même, entre les deux suivantes : Cx'— Az — CAB, #4 RER, / j Cp — Be = C[EV'E — 6].

Or cette élimination est praticable, quoique la fonction + soit arbitraire, car il résulte de ces deux équations que leurs premiers membres sont fonctions arbitraires l’un de l’autre; donc, Y représentant

une nouvelle fonction arbitraire, l’équation de la surface des centres

de la première courbure sera Cy' — Bz'— Y(Cx’ — Az),

qui est celle d’une surface cylindrique à base quelconque, et dont la droite génératrice est constamment perpendiculaire au plan donné.

Si l’on voulait trouver de même l’équation de la surface développable normale correspondante à la première ligne de courbure, on ne pourrait pas éliminer en même temps les cinq quantités x, y, z, p; q des quatre équations suivantes, qui sont celles de la normale et

celles de la première ligne de courbure :

nr +E—x)q=0,

Ax+ By + Cz — 04,

Ap+Bq—C

Vi pe Lg un

il faudrait y joindre encore la suivante :

(a—2)Vi+p+q=R,

er 84 ne qui donne l'expression du rayon de courbure, et alors on aurait Ax' + By" + Cz'—= pa + ak,

dans laquelle # est constante pour la même surface normale, et qui, pour un point quelconque de cette surface, exprime le rapport entre les trois coordonnées x”, y”, z’, et la distance R de ce point à celui de la surface courbe. Mais, si l’on différentie cette équation en regar-

dant « comme seule variable, ce qui donne DA RIEE 0

on ne considère plus sur la surface normale que son intersection avec la surface normale consécutive, intersection qui se trouve entièrement sur la surface des centres de la seconde courbure.

Donc, si l’on élimine «, ce qui donne R = ® (Ax’ + By’ + Cz'),

dans laquelle & indique une nouvelle fonction arbitraire, on aura l'expression du rayon de la seconde courbure en coordonnées du centre de cette courbure, et ce rayon sera constant lorsque la distance du centre au plan sera constante.

Raisonnant ici comme dans le premier cas, on verra que si, après avoir conçu une surface cylindrique parallèle à celle des centres de la première courbure, et qui aurait pour base la développante de la base de cette dernière, on suppose qu’une sphère variable de ‘ayon roule sur cette surface de manière à en toucher successivement tous les points, et que le rayon de la sphère soit constant

lorsque la distance du point de contact au plan donné est constante,

le centre de la sphère mobile parcourra la surface demandée. Ainsi la surface du cas général ne diffère de celle du cas particulier que par sa position.

Cette dernière génération peut facilement s’écrire en analyse. En