DE LA SURFACE DONT UN DES RAYONS DE COURBURE EST CONSTANT

Nous avons vu qu'une surface courbe avait, pour chacun de ses points, deux rayons de courbure. Ces deux rayons, pour le même point, ont entre eux une relation différente, suivant la génération de la surface. Nous nous proposons de trouver les équations, tant aux différences partielles qu’en quantités finies, de la surface pour laquelle un de ses rayons est constant et égal à &, et ensuite de décrire la génération de cette surface.

L'expression des rayons de courbure étant donnée par l'équation du second degré

(+ gr -2pqs

rever] + (1+p°)t

lier +io si le rayon d’une des courbures doit être constant et égal à a, on aura l'équation aux différences partielles secondes de la surface en

fusant R— « dans l’équation précédente, ce qui donne

ae ee q)r-2pqs

CGR. map au LE ECS + (IE DE

IT

L'équation que nous venons de trouver est comprise dans celle que nous avons traitée dans les &$ XII et XIV ; car si, après l'avoir divisée par (1 + p° + q*)", on fait, pour abréger,

CERTES" (pète)

+ ee de Aie ve S, Mébnessg"h SR ee ON, D

(HP 9) elle sera sous la forme (rt — $) (RT — s) — Rr — 985 — TE + 1 — 0;

de plus, si l’on différentie R, S, T, en regardant p et 4 comme

variables principales, on à

(7 jm (ée)

D Ur ar)

et

ainsi les quantités R;5S,T sont les coefficients des différences partielles secondes d’uñe même fonction de p et 4; ce qui est la conditioh des & XIITet XIV. Nous représenterons cette fonction de p et g par T'(p,q). Donc la surface demandée est l'enveloppe de l’espace. parcouru par une autre surface constante de figure , ‘et qui, sans tourner, se meut le long d’une courbe arbitraire.

. Pourtrouver par intégration la forme de la fonction F, nous avons

dr’ = Rdp + Sdq, dr" = Sdp + Tdg;

= Tape

substituant pour R, S,T les quantités qu'elles représentent, on aura

Avi = O-ÉGORERERREE es GE

dr" — apqdp — a (x Ps )dq:

ce qui donne, en intégrant, TES Re À r” — 4q d rc péeoi MEL à + q°

Nous avons de même

dr = r'dp + T'dq, ou, en substituant pour Let T” leurs valeurs, — apdp — aqdq ere

dr

dont l'intégrale est

T = —“a Vi 2 pD° q" Done, mettant pour FT, T’,T” leurs valeurs dans les formules des

&S XIIT et XIV,

’ ap aq « LH = Qu, Y+ a RER Viper Vi+p°+q Vi+p°+q

d'où, éliminant #, les équations aux différences partielles du premier ordre seront deux quelconques des trois suivantes :

ù ap ( a k 4 En re RON NE Re = MP Vi+p+g Vi+p'+q

À aq a T7 TE — NI DIE RE es = |0 Vi+p° +? Ke ap