DEL

Si, au lieu d'éliminer +, on élimine p et g, on aura pour équation

de l’enveloppée (x 08) + Ga) (5 — a) — 0

Donc la surface demandée est l'enveloppe de l’espace parcouru par une sphère dont le rayon constant est égal à &, et dont le centre se meut le long d’une courbe à double courbure arbitraire dans ses deux projections, les équations de cette courbe étant représentées par DENT NI

Donc enfin l'équation de la surface en quantités finies est le résultat de l’élimination de z entre l'équation de la sphère mobile et la sui-

vante :

(x — qu)q'a+(y— da) da +z—x4—0o,

qui est sa différentielle prise en regardant 4 comme seule variable.

La dernière équation, qui est une de celles de la caractéristique de la surface, appartient aussi à un plan normal à la courbe à double courbure arbitraire, et qui passe par le centre de la sphère; ainsi la caractéristique est l'intersection de ce plan par la surface même de la sphère, # ayant la même valeur pour l’un et pour l’autre. Donc la surface demandée peut aussi être regardée comme engendrée par le mouvement de la circonférence d’un cercle constant de rayon, et qui se meut de manière que son plan soit constamment normal à la courbe arbitraire que parcourt le centre.

Enfin; si l’on concoit qu’un cercle d’un rayon égal à &, étant tracé

sur un plan, ce plan se meuve en s’enveloppant sur une surface

développable arbitraire, ou, ce qui revient au même, en roulant autour de deux surfaces courbes arbitraires, la circonférence du cercle engendrera encore la surface demandée, car nous avons vu que, dans l’un et l’autre cas, le plan mobile est toujours normal

aux courbes parcourues par chacun de ses points.

VE

Il suit de ce qui précède que, si l’on avait une équation aux différences partielles du premier ordre SANS d’une manière quel-

conque, des trois quantités

p + ap Ÿ + t re | { RE ——) D) Vi+p'+q° Vi+p°+g" Vi+p'+g

aq [42

de manière qu’en représentant ces quantités respectivement par L,, M,N,on eût

F(L;M;,N)—0; l'intégrale de cette équation serait le résultat de l’élimination d’une des deux fonctions arbitraires ® ou +, et de l’indéterminée z entre

les trois équations

ST | ne | ©

(x — ça) + (7 — Va) (x — qa)qa+(y —Na)da+ 4— a

F(9a, da, a) — 0,

qui, parce que l’élimination actuelle d’une des deux fonctions est toujours praticable, peuvent toujours être réduites à deux autres,

entre lesquelles il faudra éliminer # Si l’on n’eût pas reconnu que l'équation aux différences secondes

était contenue dans celle que nous avons traitée $$ XIITLet XIV, on aurait pu l’intégrer par la recherche de sa caractéristique. En effet,

a I 9 ] ie si on la différentie en regardant r, s, { comme seules variables, et si l’on représente les coefficients de dr, ds, dt respectivement par R',S’,T’, que nous accentuons pour les distinguer des mêmes lettres, qui ont d’autres significations dans les articles précédents,

on aura

R'— at+a(1 + q°) (TEEN PES

Ms — 2 apq Vi + p° + 4q?, T'—= ar + a (1 + p°) Vi + p° + q?,

valeurs qu'il faudra substituer dans l'équation générale de la caractéristique

R'dy° — S'dxdy + T'dx° = 0.

Or cette équation sera alors un carré parfait, car on a RTE Lo S'? ue 0,

ce qui se vérifie au moyen de la proposée. Donc les deux caractéristiques de là surface se confondent en une seule. La racine de cette équation sera donc indifféremment l’une des deux équations

2R'dy — S'dx — 0, 2T'dx — S'dy — 0,

qui, par la.substitution des valeurs de R”, S”, T”, et en chassant r,$,t, deviennent

adp +[(1 + p°) dx + pqdr] V1 + p° + q° =, adg + [(1 + q°) dy + pqdx] V1 + p° + go,

et qui sont telles que, si l’une a lieu pour certains points de la sur-

face, l’autre a aussi lieu pour les mêmes points: Donc elles équivalent aux équations des deux projections de la caractéristique.

Tirant de ces deux équations et de dz = pdx + qdy les valeurs de dx, dy, dz, on trouvera

A [CPAS G+p+gy

dr +

dy + a [CCE POUPEE (ER PSSCE) a(pdp + gdg) GE pre g)

dz + 0;

qui équivaudront aux équations des trois projections de la caraetéristique. Or ces équations sont toutes intégrables , et elles ont pour intégrales

ap € D PP =

= TT Ÿ» Th, RS = — VASE PIE QE VAE pig Vi+ p?+9*

dans lesquelles les arbitraires y,.B, « sont toutes trois constantes pour la même caractéristique, et changent toutes trois de valeur pour des caractéristiques différentes ; donc deux quelconques d’entre elles sont fonctions de la troisième, et l’on aura

y — Pa, BEA

ce qui donne le même résultat que par l’autre méthode.

VIT

Ce dernier procédé nous fournit le moyen de reconnaître que la caractéristique est une des lignes de courbure de la surface. En

effet, si, après avoir mis les équations qui donnent les valeurs de