AUS

R',S”",'T” sous la forme suivante :

RE a? — a(1+q)Vi TE SC S' + 2as—— 2apq Vi + p° ME GE

TETE r

= a(i+p)Vi + pt + 4},

on multiplie la première par dy (rdx + sdy), la deuxième par tdy® — rdx*, et la troisième par — dx (sdx + tdy), et en représentant par H — o l'équation générale (E) des lignes de courbure, on trouve

(2R'dy — S'dx) dp — (2T'dx — S'dy) dg = 2aH V1 + p° + q°.

Or nous avons vu que, pour la caractéristique, on a 2R dy S'dx = 0; . 2T/dr. —S'dy — 0;

donc on aura aussi H — o.

Ainsi, la caractéristique de la surface est la ligne de courbure pour laquelle le rayon de courbure est constant. Il est facile, d’après cela, de reconnaître que les lignes de l’autre courbure sont celles qui sont parcourues par les points de la circonférence du cercle générateur, et qui ont toutes les mêmes plans normaux que celle qui est parcourue par le centre.

Dans cette surface, les lignes des deux courbures sont donc distinctes et ont des équations séparées, puisque l’une d'elles est toujours un cercle d’un rayon constant et égal à a. Il en est de même pour les surfaces des centres des deux courbures, et il est évident que l’une de ces surfaces se réduit à la courbe même parcourue par le centré. Pour la surface cylindrique à base circulaire, qui est un cas particulier de celle dont nous venons de nous occuper, une des deux surfaces des centres de courbure se réduit à une ligne droite,

qui est l’axe du cylindre.

Les deux fonctions arbitraires que renferment les équations intégrales (J) (e — qu) + (y = da) (za), (K) (x—œqa)ga+ (y —da)da+ 2—a =o

étant composées de la même quantité «, il est facile, par la méthode générale que nous avons exposée en traitant des surfaces développables, de déterminer les formes de ces fonctions de manière que la surface passe par deux courbes à double courbure données arbitrairement. Mais, dans ce cas particulier, cette méthode présente une réciprocité singulière que nous devons faire remarquer.

En effet, lorsque la sphère enveloppée se meut de manière.que sa surface touche toujours les deux courbes arbitraires données, son centre reste toujours à la distance égale à & de chacune d'elles ; il parcourt donc une courbe qui est l'intersection de deux autres surfaces de même génération, et dont l’une serait l'enveloppe de la même sphère si le centre parcourait la première courbe donnée, et dont l’autre serait l'enveloppe de la sphère si le centre parcourait l’autre courbe. Ainsi, en supposant que les équations données des deux courbes soient x — F3 et y — F3 pour la première, x — fz et y —=.fz pour la seconde, la détermination des fonctions arbitraires get À peut être prescrite par le formulaire suivant :

À la place des formes arbitraires des fonctions ® et +} dans les équations (J), (K), on substituera les formes connues F, relatives à la première courbe, et l’on éliminera «, ce qui donnera une première équation résultante en x, y, z.

De même, à la place des fonctions get}, on substituera les fonctions connues f, relatives à la seconde courbe, et l’on éliminera 4, ce qui donnera une seconde équation résultante en x, y, z.

Des deux résultats on tirera les valeurs de x et y en z, et ces

valeurs x — @3, y —z donneront en z les formes des deux fonctions demandées 9 et 4.

Enfin, s’il fallait déterminer les formes des fonctions & et 4 de manière que la surface touchât deux autres surfaces courbes données arbitrairement, chacune suivant une ligne courbe, c’est-à-dire si la surface devait être l'enveloppe de l’espace parcouru par une sphère qui se mouvrait sans cesser de toucher en même temps les deux surfaces données, il est clair que le centre de la sphère mobile serait toujours à la distance égale à a de chacune de ces surfaces. La courbe que parcourrait ce centre serait donc l'intersection de deux autres surfaces courbes, dont l’une aurait les mêmes normales que la première surface donnée, et en serait à la distance égale à &, et dont l’autre aurait pareillement les mêmes normales que la seconde surface donnée, et en serait aussi à la distance égale à &. Ainsi, dans ce cas particulier, et en supposant que les équations des deux surfaces données soient z — F (x, y) pour la première, et z = f(x, y) pour la seconde, la détermination des fonctions arbitraires ® et | peut se prescrire par le formulaire suivant :

Nommant respectivement M — 0, N — 0 les deux équations suivantes :

OS OMIS (cpl (7 y) [2 (6. »))

on éliminera £ et y entre les trois équations

a dM\ NE M0; (T)= 0, en Mr

et l’on aura en x, y, z un premier résultat. On éliminera de mème

Get y entre les trois équations

dN dN N=o, (S)=e (g)=e,

et l’on aura en x, y, z un second résultat. On tirera de ces deux résultats les valeurs de x et y en z, et ces valeurs x — 23, y —\Àz donneront en z les formes des deux fonctions demandées o et, que l’on substituera en + dans les deux équations (J), (K). On éliminera 4 entre ces deux dernières équations, et l’on aura en x, y, z l'équation de la surface individuelle qui ceint en même temps les

deux surfaces données.

SEXIXe

DE LA SURFACE DONT LES DEUX RAYONS DE COURBURE EN CHAQUE POINT SONT ÉGAUX ENTRE EUX ET DIRIGÉS DU MÊME COTÉ.

Les centres des deux courbures d’une surface courbe, pour chacun de ses points, sont sur la normale qui passe par ce point; mais la position de ces deux centres sur la normale dépend, en général, de la génération de la surface. Si les centres sont tous deux placés du même côté par rapport à la surface, les deux courbures présentent leurs concavités du même côté; c’est cequi arrive, par exemple, dans tous les points de la surface engendrée par la révolution d’une elhpse autour d’un de ses axes. Si les centres des deux courbes d’une surface, pour un de ses points, sont placés de différents côtés par rapport à la surface, l’une des deux courbures en ce point présente sa concavité du côté vers lequel l’autre présente, au contraire, sa convexité. Nous verrons par la suite que c’est ce qui arrive dans

RS LC, nn.

ie js tous les points de la surface engendrée par la révolution d’une hyperbole autour de son second axe. Cela posé, la surface dont nous nous proposons de trouver la génération est celle pour chacun des points de laquelle, non-seulement les deux rayons de courbure sont égaux entre eux, mais encore les deux courbures présentent leurs concavités du même côté, c’est-à-dire est celle pour laquelle les centres des deux courbures sont toujours confondus. Il est évident que la surface de la sphère en est un cas particulier, dans lequel il arrive, de plus, que ce centre commun des deux courbures est le même pour tous les points de la surface.

ile

Les centres des deux courbures se confondront en chaque point de la surface, si les deux valeurs que donne l’expression du rayon de courbure

À h+NVR? — 4kg

sont égales entre elles et de même signe, c’est-à-dire si le radical,

par lequel diffèrent ces deux valeurs, devient nul; enfin si l’on a La Ak°g — ©.

Donc, en remettant pour £, L, # les quantités qu’elles représentent, l'équation aux différences partielles secondes de la surface deman-

dée sera hrs) (1+p}+q?)—{[(G+g)r— 2pqs +(1+p°)tf—o,

et l'expression du rayon de courbure pour cette surface sera indifféremment = o k° E— kh

RE h 2g

qui sont égales entre elles.

IH Es

Avant de quitter les différences secondes, nous observerons qu'en faisant, pour abréger,

(1 + g°)r = pgs = À, (1:19 ES Pai ES; (1 + p*)s — pqr = C, (1 + p°)t — pqs = D, ce qui donne A+D =", pq (AD) ESRSSrS PESTE

l'équation générale (E) des lignes de courbure, qui devient alors Bdy* + (A — D) dxdy — Cdx° — 0,

produit deux valeurs d

radical