VIA D
Or ce radical est le même que celui qui entre dans la valeur du rayon de courbure, c’est-à-dire que la quantité (A — D)° + 4BC, ou (A + D} — 4 (AD — BC) est égale à L° — 4k°g, ce qui est facile à vérifier. Donc, dans la surface dont nous nous occupons, et pour
dy ; à laquelle le radical est nul, les deux valeurs de < , relatives aux lignes de courbure, sont égales entre elles. Donc, excepté les cas par-
ticuliers pour lesquels les trois quantités B, C, À — D sont chacune
d 2 égales à o, et ne déterminent aucune valeur pour =. , la surface n’a our chaque point qu’une seule ligne de courbure; ainsi tous ses [! 5 9
points sont des ombilics analogues à ceux que nous avons remar-
‘qués être au nombre de quatre sur la surface de l’ellipsoide. Re-
cherchons d’abord quelles sont les surfaces qui sont dans le cas de l'exception.
Des trois équations B— 0, Ü— 0, À — D — 0, qui déterminent le cas de l'exception, la troisième est une suite nécessaire des deux autres, et il suffit d'employer les deux premières, qui peuvent être
mises sous la forme
9 p de 7 d Fa AD AE Q) dy RME
Or, la première étant une différence partielle exacte prise en regardant æ comme seule variable, elle doit être intégrée comme une différence ordinaire, et complétée non par une constante absolue, mais par une fonction arbitraire de la quantité y, qui a été regardée constante dans la différentiation; il en est de même pour la seconde, qui doit être complétée par une fonction arbitraire de x. Les inté-
grales de ces deux équations sont donc FT che q = kr.
Remettant pour # sa valeur V 1 + p° + q°, et tirant les valeurs
de p et q, on aura
QUE Te ne , Vi — (gx) — (hr) Fe dy
Vi x) — (hr) valeurs qui, étant substituées dans dz — pdx + qdy, donneront
ox. dx + 4y.dy Vi — (gx) — (dy)
dz —
ns De AUED EE
Nous verrons dans la suite, en traitant de la génération des courbes à double courbure, que, suivant les formes des deux fonctions @ et À, cette équation peut appartenir, ou à des surfaces courbes, ou à des lignes courbes ; mais nous avons vu que, dans
toute surface courbe, on a toujours (He) — (a) dont les dxdy dydx deux membres sont les expressions différentes d’une seule et même quantité. Donc, en exécutant cette opération sur le second membre pour toutes les surfaces courbes auxquelles peut appartenir cette équation, on aura | px—\Ÿ7,
équation qui ne doit pas servir à déterminer y en æ, mais seulement à déterminer les formes des deux fonctions & et À. Or cette équation ne peut pas avoir lieu pour toutes les valeurs de x et de y, à moins que ces quantités n’entrent ni l’une ni l’autre sous leurs fonctions respectives, ou que ces deux fonctions ne soient égales chacune
\ A I à une meme constante —- Ge
Donc on aura en même temps
ee I ! I PL —= —; N'y € ce qui donne, en intégrant,
Xx+a y + b DL == ss , dy — Substituant ces valeurs dans l'équation aux différences ordinaires, elle deviendra NEA (x + a) dx + (y + b)dy Pb PE Qi — ) Ve—(x+a) —(y +b)
dont l’intégrale
2tc—— Ve (x+a){(y+0}),
pe
