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[a + 9°) dp — pad], ou | 2 à dy = 3 {[(G +27) dg — pqdp}, équations qui, appartenant à une même courbe, peuvent être regardées comme équivalentes à celles de deux de ses projections.

FLE

Pour trouver les intégrales de l’équation aux différences partielles secondes, nous allons d’abord chercher l'équation de la caractéristique. Pour cela, si l’on différentie l'équation en regardant r, $, # comme seules variables, et si l’on représente par R’, S”, T' les coefficients respectifs de dr, ds, dt, on trouvera, en conservant les abréviations,

R'— 4%°t — oh{1 + q°), S'—— 8k°s + 4hpgq,

T'= 4k°r — oh(1 + p°),

valeurs qu’il faudra substituer dans l'équation générale de la caractéristique :

R'dy? — S'dxdy + T'dx? — 0.

Mais alors cette équation sera un carré parfait; car, en effectuant la quantité ART’ — S°®?, on trouve qu'elle est égale à 164° (4k°g — hk°), qui est nulle en vertu de la proposée: donc les deux caractéristiques de la surface se confondent en une seule, qui aura indifféremment pour équation l’une des deux expressions suivantes de la racine de l'équation précédente :

2R'dy Pr S'dx —= O,

2T'dx — S'dy = o.

Ces deux équations, qui appartiennent à la même courbe, et dont une seule, au moyen de la surface, suffit pour déterminer cette courbe, doivent donc être regardées comme équivalentes à celles

de deux projections. Donc, en remettant pour R’, S’, T' les quantités qu'elles représentent, et chassant r, s, #, les deux équations

DR SR Le | bee. nn Se de nt à

dé, rt lens at de

aux différences ordinaires de la caractéristique seront

2k*dp — h (dx + pdz) = 0,

2k*dq — h(dy + qdz) = 0, et, en y Joignant

dz = pdx + qdy, qui, étant celle de la surface même sur laquelle cette courbe se trouve, lui appartient aussi, on aura trois équations qui équivaudront à celles de trois de ses projections, et dont deux quelconques sufliront pour la déterminer.

Dans ces trois équations, les variables x, y, z n’entrent pas; il

n'y à que les différentielles de ces variables qui s'y trouvent. On peut donc les isoler par l'élimination, ce qui donne

dx = + [(1 + q°) dp — pqdq|,

dy = 5 [(1 + p°) dg — padp],

ds = ; [pdp + qdg),

Dal

dont la troisième suit évidemment les deux premières.

Or les deux premières de ces équations sont les mêmes que celles que nous avons trouvées dans l’article précédent pour la ligne unique de courbure de la surface; donc la caractéristique, unique pour chaque point, n’est autre chose que la ligne unique de courbure, et nous pourrons, dans la suite, considérer indifféremment cette courbe sous l’un ou l’autre de ces deux aspects.

Si l’on substitue, dans ces trois équations, pour L sa valeur prise

7 du rayon de courbure, elles de-

dans l'expression R — —-

viennent dx ——— Rd L, dy te Rd 2 dz — Rd 7)

qui seraient toutes trois des différentielles exactes si le rayon de courbure R était une quantité constante, et alors leurs intégrales seraient complétées par des arbitraires qui, étant toutes trois constantes pour la même caractéristique individuelle, et variables d’une caractéristique à sa consécutive, seraient fonctions d’une même quantité &, qui particularise la position de cette courbe; mais le rayon de courbure R n’est pas constant. Si donc on intègre ces équations en regardant R comme constant, il faut que les arbitraires soient non-seulement fonctions de la quantité «, mais encore de R, et que ces fonctions soient telles, que les différentielles de chaque équation prise en regardant successivement et R comme seules variables, aient lieu. Représentant done par ®, 4 et 7 trois fonc-

tions arbitraires de «# et de R, on aura

qui résultent de la différentiation des trois précédentes, opérée en regardant successivement R et « comme seules variables. Or les trois dernières équations g” = 0, |” — 0, 7” — 0, expriment que a n'entre dans aucune des fonctions; par conséquent, si nous regardons désormais les trois fonctions arbitraires @, À, 7 comme composées de la seule quantité R, ces trois équations seront satisfaites . Quant aux trois autres équations de condition, si l’on fait la somme de leurs carrés, on trouvera

og? A N° ve 7°? 2 e d’où l’on tirera nee V1 pu Æ ne C et, par conséquent, Na de qui tiendra lieu de l’une des trois équations de condition restantes, par exemple de la dernière, et qui servira à déterminer la forme de la fonction surabondante 7, d’après celles des deux autres. Quoique cette fonction 7 soit déterminée, nous la conserverons néanmoins encore pour abréger les expressions. Les deux intégrales premières de l'équation aux différences partielles du second ordre sont donc comprises dans le système des six

équations suivantes :

x — o(R) = —P*, y — N(R) — ee 2 —r(R)= Ÿ; —#(R), P—w (R}, m—= fdRYi—p°—4",

er T00—

qui peuvent toujours être réduites à cinq par l'élimination actuelle de la fonction surnuméraire 7, et qui ne comprendront plus alors que les deux fonctions arbitraires @ et |. Ces deux intégrales sont inséparables l’une de l’autre; pour les avoir chacune en particulier, il faudrait pouvoir employer deux des trois équations principales, et n'avoir dans le résultat qu’une seule fonction arbitraire, ce qui est impossible. Mais, quoique ces intégrales ne soient pas séparées, elles ne conduisent pas moins directement à l’intégrale finie, comme

nous allons le voir.

Si entre les six équations précédentes on élimine les deux quan-

Se 5 D . . .

tites F 7, et si l’on en chasse la fonction 7, on aura trois autres

pu équations :

(x — 0) + (r = NA AQ RAT EE CEE CE

z—9—kR?, y =\—RY;

et l'élimination de l’indéterminée R entre ces trois équations pro-

duira, en +, y, z et deux fonctions arbitraires, deux équations qui seront l'intégrale complète de la proposée. Ainsi, en nous tenant dans la généralité comportée par deux fonctions arbitraires, l'objet de nos recherches étant exprimé par deux équations, il n’est pas une surface courbe, ainsi que nous l’avions supposé; c’est une courbe à double courbure. Comme ce résultat est extraordinaire, nous allons le vérifier par la géométrie; mais auparavant nous donnerons aux équations une forme qui présentera plus de facilité.

Des quatre quantités R, @R, JR, 7R, dont les trois dernières sont d’ailleurs liées entre elles par l'équation

P+ dE,

trois étant fonctions de la quatrième, on peut indifféremment

prendre celle d’entre elles que l’on voudra pour quantité princi-

pale, et regarder les trois autres comme fonctions de cette dernière. D’après cela, soient

A 4: CH De nt — Va,

les caractères d, Y indiquant de nouvelles fonctions arbitraires, nous aurons

(QE Ne re) dR? = (1 + ©? +) de?

d’où nous tirerons

AR = da Vi + 5, et

R — fda V1 ID EAU

Substituant toutes ces valeurs, nous aurons, à la place des trois équations précédentes, les trois autres équivalentes :

(X — Da) + (y — Ya) + (2 — a) — | fa Vi+o” n'2R 2 — Da — (z — à) Da,

Y—VYa—(z— x) Va,

qui, par l’élimination de la nouvelle mdéterminée 4, produiront également en «x, y, z les deux équations intégrales. La première de ces équations est celle de la surface d’une sphère qui aurait son centre sur une courbe arbitraire, dont les projections auraient pour équations x —%z, y —Yz, le centre étant au point de la courbe correspondante à z— «, et son rayon variable étant égal à l'arc de la courbe compris entre le centre et un autre point constant pris sur la courbe pour origine. Les deux autres équations sont celles des projections d’un diamètre de la sphère tangent à la courbe. Il est évident que, pour une même valeur de #, ces trois équations appar-