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tiennent au point d’intersection de la surface de la sphère et du diamètre tangent à la courbe, et par conséquent au point de la développante; done, si l’on élimine «, les deux équations résultantes en +, ÿ, z appartiendront à la suite de tous les points semblablement déterminés, et par conséquent à la développante elle-même.

Si l’on conçoit qu'une sphère, variable de grandeur, se meuve de manière que son centre parcoure la courbe arbitraire dont les équations sont x — ®z, y — Wz, et que son rayon soit égal au rayon correspondant de la développante de cette courbe, elle parcourra un espace dont l'enveloppe doit jouir de la propriété d’avoir dans tous ses points les rayons de ses deux courbures égaux entre eux; car, et dans la direction de la caractéristique de la surface, c'est-à-dire de l'intersection des surfaces de deux sphères consécutives, et dans la direction perpendiculaire, le rayon de courbure doit être égal à celui de la sphère correspondante. L’équation de la surface mobile, considérée lorsque son centre est en-un point pour lequel on a z— 4, est |

(TX — Da) + (y — Va) + a) — | da Vi Hors Lutelt qui est la première des équations intégrales que nous venons de trouver; celle de l'enveloppe sera donc le résultat de l'élimination

de « entre cette équation et la suivante :

(x — Da) D'a + (Y — Ya) Y'a+z—a — — | fda Vi +8"4+%7al VTC 0 a V2:

qui est sa différentielle, prise en regardant 4 comme seule variable. Mais dans le cas présent, où la différence entre les rayons de deux sphères consécutives est égale à la distance de leurs centres, les deux

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sphères ne se coupent pas suivant la circonférence d’un cercle; elles se touchent en un point qui est sur leur diamètre commun, c’està-dire sur le diamètre tangent à la courbe arbitraire. Donc la caractéristique de l’enveloppe est réduite à un point unique, qui est le point correspondant de la développante, et l'enveloppe ellemème est réduite à la courbe parcourue par ce point, c’est-à-dire à la développante. Et, en effet, si de la dernière équation on élimine la quantité sous le signe d'intégration, au moyen de l’équation de la sphère, elle devient

[tr —D—(z—a)df+[ry—-Y—(2—-2)% + [fx —®) 4" — (7 —w)œf qui, étant la somme de trois carrés, ne peut produire rien de réel, à moins qu'on n’égale à zéro les racines de chacun de ces carrés. Or, si l’on égale à zéro deux quelconques de ces racines, la troisième est nulle nécessairement ; ce qui se vérifie facilement. Donc la différentielle de l'équation de la surface de la sphère, prise en regardant # comme seule variable, produit les deux équations suivantes : x — Da — (z — x) Da, Y — Va — (z — x)W'a,

qui sont les deux dernières des trois équations intégrales.

Il suit de là que l’équation aux différences secondes appartient à une surface courbe qui, si l’on se maintient dans la généralité comportée par deux fonctions arbitraires, n’a de réel qu’une ligne courbe, et dont l’aire est, par conséquent, nulle.

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Si l’on déterminait la forme d’une des deux fonctions arbitraires ® ou Y, de manière que, des trois équations intégrales, l’une füt la

suite nécessaire des deux autres, cette troisième équation deviendrait inutile; l'intégrale serait réduite aux deux autres, et l’élimination de # produirait en x, y, z l'équation d’une surface moins générale, puisqu'il n’y aurait plus qu’une fonction arbitraire, mais dont l’aire ne serait pas nulle, et qui jouirait de la propriété d’avoir en chacun de ses points les centres de ses deux courbures réunis en

un même point.

Or, si l’on élimine x et y entre les trois équations intégrales, on a

(z — a) Vi o + gp — fda V1 Dir

qui, devant être satisfaite indépendamment de la valeur de z, donne

Nr + So + -y/ 10.

fda Vi + 07 Er — 0,

et quand même on pourrait satisfaire à la première sans donner à l’une des fonctions arbitraires une forme imaginaire, la seconde, dont le premier membre serait alors une constante qui devrait être nulle, exprimerait que le rayon de la sphère mobile devrait être nul, ce qui réduirait l'enveloppe à la courbe arbitraire elle-même, et l'aire de cette enveloppe serait nulle. Donc, dans la généralité beaucoup moins grande d’une seule fonction arbitraire, toutes les surfaces auxquelles appartient l'équation aux différences secondes ont leur aire nulle.

Enfin, si les deux dernières équations intégrales étaient une suite nécessaire de la première, et par conséquent inutiles, # et ses deux fonctions seraient des constantes absolues, et l'équation intégrale deviendrait

qui est celle de la sphère d’une grandeur et d’une position arbi-

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traires. La surface de la sphère est donc la seule qui Jouisse de la propriété d’avoir pour chacun de ses points les centres de ses deux courbures réunis, et dont l’aire ne soit pas nulle.