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DE LA SURFACE COURBE DONT LES DEUX RAYONS DE COURBURE SONT TOUJOURS ÉGAUX ENTRE EUX ET DE SIGNES CONTRAIRES.
Nous avons vu que l'expression commune des deux rayons de courbure, pour le même point d’une surface courbe, est
Re = Le pete VA: —— kg).
Pour que les deux valeurs de R que donne cette expression ne diffèrent entre elles que par le signe, il faut que l’on aït À — 0 ; donc, remettant pour L la quantité qu’elle représente, l’équation aux différences partielles secondes de la surface demandée est
(a) (1+g°)r—2pqs +(i1+p')t=o.
Cette équation est la même que celle que M. Lagrange a trouvée pour la surface dont l'aire est un minimum; donc la surface que nous considérons jouit encore de cette autre propriété remarquable, que si l’on circonscrit une partie de son aire par un contour quelconque, continu ou discontinu, elle est, de toutes les surfaces qui passent par ce contour, celle dont l'aire comprise dans le même contour est la plus petite.
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Pour intégrer l'équation (&), nous chercherons d’abord les équations de la caractéristique de la surface à laquelle elle appartient, et pour cela nous différentierons en regardant r, s, comme seules
variables, ce qui donnera R'= 1 + g°, CS 77 MU et, substituant ces valeurs dans R'dy° — S'dxdy + T'dx° — 0, nous aurons pour première équation de la caractéristique, (b) (+ g°) dy? + 2pqdxdy + (1 + p*) dx* = o.
Puis, chassant r, s, t de la proposée, et substituant pour la
valeur que donne l’équation (b), on aura pour seconde équation de la caractéristique,
(c) + g°)dp* + 2pqdpdg + (à +p°) dg° = o.
Cette dernière équation aux différences ordinaires entre les deux variables p, q est facile à intégrer; car, si on la différentie en regardant 4 comme variable principale, on trouve ddp = 0, dont l'intégrale est | dp = adgq, a étant la constante arbitraire introduite par l'intégration. Substil AE DUR tuant donc pour 7 la valeur + que donne cette intégrale, l'intégrale de l’équation (c) sera
(1+g')a — 2apq+1+p"—o, où
1+a@ + (p— ag) — 0.
Cette équation a deux racines ; ainsi la surface a deux caractéristiques distinctes, en sorte que, si l’on représente par # la constante arbitraire de la première caractéristique, et par B celle de la seconde, les équations distinctes de ces deux courbes seront
p—ag=V—1—4, p=—Bg=—V—1—P6, ce qui donne
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et d'ou, tirant les valeurs de p et q, on a PR Re ee er te ce dent. rer) Quant à l’autre équation de chacune des deux caractéristiques, elle est comprise dans l’équation (b), qui peut être mise sous la forme
la plus simple dx° + dy? + dz° — 0,
et qui, étant la somme des trois carrés, produit les trois équations :
