DO

suivant deux directions différentes, engendre une surface courbe dont l'aire n’est pas nulle.

Il suit de là que, pour la première caractéristique, les trois quantités &, æ, y sont toutes trois constantes; ainsi la première d’entre elles est une fonction des deux autres. Il en est de même de £, considérée dans l’autre caractéristique. Donc, en général, les deux coordonnées #, y, et par conséquent la troisième z, sont des fonctions de x et de 8. Il ne s'agirait plus que de déterminer les formes de ces trois fonctions pour que la proposée fût satisfaite; mais cette considération, qui, d’ailleurs, nous conduirait au même résultat, nous écarterait de la marche de l’intégration que nous allons re-

prendre.

Quoique l'équation (b) produise deux autres équations simultanées, on peut la traiter comme une équation unique. Par la substitution des valeurs de p et g, elle devient

dy* + (a + B)dxdy + a«Bdx* — 0, ou

(dy + xdx) (dy + Bdx) — 0, qui, étant composée de deux facteurs, donne, pour les deux caractéristiques, les deux équations dy AT — O, dy + Bdx = 0;

mais, de ces deux équations, c’est la seconde qui appartient à la première caractéristique, et la première qui appartient à la seconde. En effet, si, après avoir chassé r, s, { de la proposée, ce qui donne

+ g*)dpdy + (ii +p°)dqdx = 0,

; dp . N .« on substitue pour Fr la valeur 4, qui convient à la première carac-

téristique, on a

(1 + g*)ady + (1 +p°)dx — 0, ou

dy + Bdx = 0.

a dp . ; Ù De même, en employant pour à la valeur £, qui convient à la seconde caractéristique, on trouve dy —- aAX = 0:

Les deux équations de la première caractéristique sont donc

pt aq MEL, dy + Bdx = 0,

et celles de la seconde

p—pqg=V—1— 6", dy + adx — 0

Or, par rapport à la première, pour laquelle on a x — constante, si G était aussi constante, la seconde équation serait intégrable, et son intégrale serait complétée par une constante arbitraire qui serait fonction de #; mais B est variable. Si donc on intègre en regardant £ comme constante, l’intégrale doit être complétée par une fonction de # et B, et cette fonction doit être telle que la différentielle de l'intégrale, prise en regardant 8 comme seule variable, soit satisfaite; ce qui ne suffira pas encore pour la déterminer. Représentant donc par & cette fonction des deux quantités +, 6, l'intégrale de la seconde équation sera d’abord

(d) Y + 6x = (x, 6), (e) LED

Par la même raison, si l’on représente par À une autre fonction

de «et 8, l'intégrale de la seconde équation de l’autre caractéristique sera d’abord comportée par les deux équations

62) J + ax = W(2, 6),

Mais, le point de la surface devant être déterminé par l'intersection des deux caractéristiques , les quatre équations (4), (e), (f), (2) doivent avoir lieu pour sa projection sur le plan des x et y, et elles

ne peuvent avoir lieu, à moins que les fonctions & et d ne satisfassent

aux deux suivantes :

(2) ® — 89" —= À — «\”, (à) o" AL,

qui résultent de l'élimination de x et y, et dont les intégrales doivent servir à déterminer les formes des fonctions & et «|.

Pour intégrer ces deux dernières équations, il faut d’abord séparer les fonctions, et pour cela on les différentiera en regardant successivement &, puis 5 comme seules variables ; et, éliminant d’abord tout ce qui dépend d’une des fonctions, ensuite ce qui dépend de l’autre, on trouvera les deux équations aux différences partielles secondes

(a x. 8) g"' nie o' 0:

(a 8) AA + — o,

qui peuvent être mises sous la forme suivante :

dut a—E 7 ie ni:

a —f5 Érs da Leu

CNT 5 ee et dont les intégrales sont CM ne (a AL: B) Da, Lee (a PE B)Y”B,

dans lesquelles ® et Y sont deux nouvelles fonctions arbitraires d’une seule quantité, 4 pour l’une, 6 pour l’autre, et que nous accentuons à cause des intégrations subséquentes. Ces deux équations sont elles-mêmes des différentielles exactes, prises, l’une en ne faisant varier que «, l’autre en ne faisant varier que B; et leurs inté-

grales sont ® — (a—/£$) Da + da + FB,

d=(a—f) V6 + VB + fa,

dans lesquelles f'et F sont deux nouvelles fonctions arbitraires d'une seule quantité. Des quatre fonctions arbitraires qui entrent dans ces équations, il n’y en a que deux qui soient nécessaires, parce que c’est volontairement que nous avons différentié les deux équations (k), (1), et que nous nous sommes élevés aux secondes différences. Il faut donc déterminer les formes de deux de ces fonctions, de manière que les équations (k), (1) soient satisfaites. Or, de ces intégrales on tire, par la différentiation,

et, en substituant pour ®, ®”, 4, d’ leurs valeurs dans (2) et (5) on trouve que, pour que ces dernières soient satisfaites, on doit avoir

FB — F6, Ja —— Va,

ce qui détermine les formes des deux fonctions surnuméraires

F, jf. Donc, substituant pour ces fonctions leurs formes dans les valeurs de @, 4, ®”, 4’, on aura

® —(a—/f$) Da — Da + WB, À = (a—$) Wa — Da + YB, ® —— d'a + W'B, = — da + W'B;

enfin, substituant ces valeurs dans les deux équations (4), (e), ou dans (f), (g), et tirant les valeurs de x, y, on aura pour les coordonnées du point d’intersection des projections des deux ca-

ractéristiques (£) x —=— Y'a + WB, (m) Y—=—Va+ ad + WE — BW'6.

Ainsi, en remettant à la place de et £ leurs valeurs en p, q, les deux équations (/) et (mr) donnent en p, q, pour x, y, les valeurs que l’on tirerait de deux intégrales premières de la proposée, l’une de ces intégrales étant complétée par la fonction arbitraire ®, l’autre par Y; et l’on aurait ces deux intégrales premières, si l'on pouvait tirer de (L) et (1) deux autres équations, dont chacune ne contint qu'une des fonctions et ses dérivées. Les deux équations (L) et (mn) ne sont donc pas les intégrales premières de la proposée ; mais, prises ensemble, elles expriment la même chose que les deux intégrales premières, prises de même ensemble; et nous allons voir qu'elles conduisent de même directement à l'intégrale finie.

En effet, si l’on différentie les deux équations (/), (m2), pour

avoir les valeurs de dx, dy, et si l’on substitue ces valeurs, ainsi