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que celles de p, qg, dans dz — pdx + gdy, on trouve

da = a. du V(—1— a) +8. d8 V(—1— 6),

équation dans laquelle les variables z, 4, 6 sont séparées, et qui

donne (n) z— fx. da V(— 1—u°) + fY"8.d8 VND ET

dont le second membre, lorsque les fonctions , Y seront déterminées, ne dépendra que des quadratures. Donc les coordonnées de chaque point de la surface sont données en # et £ par les trois équations (2), (m), (x); donc l'équation de cette surface en x, y, z, ou l'intégrale finie de la proposée, est le résultat de lélimination des deux indéterminées « et £ entre ces trois équations.

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Il s’agirait actuellement de construire cette Intégrale, ou, ce qui revient au même, de trouver la génération de la surface. La seule construction à laquelle nous soyons encore parvenus, procède par courbes infiniment voisines : elle prouve, à la vérité, que l'aire de la surface n’est pas nulle, ce qui est d’ailleurs évident; mais elle ne peut être d'aucune utilité dans la pratique. Nous allons néanmoins la rapporter, parce qu’elle pourra donner lieu à des efforts plus heureux.

Soit une courbe à double courbure prise arbitrairement dans l’espace. Concevons qu’une de ses tangentes se meuve sans cesser de la toucher; elle engendrera une surface développable dont la courbe arbitraire sera l’arête de rebroussement; et un point quelconque de la tangente parcourra une courbe, à laquelle la tangente mobile sera constamment normale, et qui sera une développante de la courbe arbitraire : nous allons voir que cette déve-

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loppante sera une des lignes de courbure de la surface demandée. Soit prolongé chacun des rayons de la développante au delà de cette courbe et d’une quantité égale à lui-même; ce qui déterminera sur chacune des tangentes à la courbe arbitraire un point que nous nommerons second centre, parce qu'il sera le centre de la seconde courbure du point correspondant de la surface, point dont le centre de la première courbure sera le point de contact de la courbure arbitraire. Concevons qu’un cercle variable de rayon se meuve de manière, 1° que son plan passe toujours par la tangente mobile, et soit toujours normal à la surface développable que parcourt cette tangente; 2° que son centre dans chaque instant soit confondu avec le second centre; 3° que sa circonférence passe toujours par le point correspondant de la développante, et par conséquent la coupe perpendiculairement; la circonférence de ce cercle engendrera une surface courbe qui passera par la développante, dont cette dernière ligne sera une ligne de courbure, et dont les deux rayons de courbure pour chaque point pris sur la développante seront égaux entre eux et de signes contraires. Nous n’aurons besoin de considérer dans cette surface qu’une zone infiniment étroite, celle qui est bordée par la développante.

Cela posé, supposons que chaque tangente soit mobile autour du second centre par lequel elle passe, et dans le plan du cercle correspondant, c’est-à-dire dans le plan normal à la surface développable; puis, qu’une de ses tangentes se meuve en effet et décrive autour du second centre un angle infiniment petit et arbitraire ; que la tangente suivante se meuve de même autour de son second centre jusqu'à ce qu’elle coupe la tangente précédente considérée dans sa nouvelle position ; que la troisième tangente se meuve aussi Jusqu'à ce qu’elle coupe la seconde; et ainsi de suite de proche en proche pour toutes les tangentes. Toutes ces droites considérées dans leurs nouvelles positions seront encore normales à la surface

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courbe engendrée par la circonférence de cercle; et parce qu'elles se rencontrent consécutivement deux à deux, elles seront dans une seconde surface développable, dont l’arète de rebroussement sera distincte de la première courbe arbitraire, mais en sera infiniment proche. Gette seconde surface développable sera normale à la surface engendrée par la circonférence du cercle; elle la coupera en une courbe qui sera la ligne de courbure suivante, et qui sera une développante de l’arête de rebroussement de la seconde surface développable. La zone comprise entre cette seconde développante et la première appartiendra à la surface demandée.

Actuellement, si l’on opère sur l’arête de rebroussement de la seconde surface développable et sur sa développante, comme nous avons opéré sur la courbe arbitraire et sur sa développante, on aura la troisième ligne de courbure de la surface demandée ; et, continuant ainsi de proche en proche, on aura tous les points de la surface.

Cette construction a toute la généralité nécessaire; car elle suppose une première courbe entièrement arbitraire, et, par conséquent, une fonction arbitraire pour chacune des projections de cette courbe. !

Nous ne donnerons pas un plus grand nombre d'exemples de surface dont la génération peut être exprimée par des équations aux différences partielles du second ordre. Quant à celles qui exigent des différences du troisième ordre, nous ne considérerons que le petit nombre de celles qui sont remarquables par la simplicité et par l'emploi qu’on en fait dans les arts.