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DE LA SURFACE COURBE ENGENDRÉE GÉNÉRALEMENT PAR LE MOUVEMENT D’UNE LIGNE DROITE.

Le mouvement d’une droite dans l’espace est déterminé lorsque cette droite est assujettie à s'appuyer perpétuellement contre trois courbes à double courbure données. En effet, si l’on prend sur la première de ces courbes un point arbitraire, la droite qui passe par ce point, et qui s’appuie contre les deux autres courbes, est entièrement déterminée de position; car il est évident que cette droite doit être l'intersection des deux surfaces coniques dont le sommet commun est au point arbitraire, et qui passent, l’une par la seconde courbe donnée, l’autre par la troisième. Si donc on concoit que la droite se meuve de manière que, s’appuyant constamment sur les deux dernières courbes, elle passe successivement par tous les points de la première : pour chacun de ces points la position de la droite sera déterminée, et la surface qu’elle engendrera par son mouvement sera, par conséquent, unique et déterminée.

La nature de la surface dépend de celles des trois courbes qui dirigent le mouvement de la génératrice; mais quelles que soient ces trois courbes, toutes les surfaces soumises à cette génération ont un caractère général qui peut être exprimé par l'analyse, et dont nous allons chercher directement l'expression : 1° aux différences partielles du troisième ordre ; 2° aux différences du second ordre ; 3° aux différences du premier; {4° en quantités finies.

De même que nous avons représenté par p, q les coeflicients des différences partielles du premier ordre, et par r, s, t ceux des différences partielles du second ordre, nous représenterons par 4, ui, w, » ceux des différences partielles du troisième ordre, de ma-

PRO te nière que l’on aura dr = udx + wdy, ds — wdx + wdy, dt = wdx + vdy; équations dans lesquelles le coefficient de dy dans l’une est le même

que celui de dx dans la suivante, parce que, les deux quantités p et g étant des fonctions de x et y, on doit avoir

ddp \ ___ { ddp LR NE Eda (a) \dydx dxdy Jen s\dydzx °

ce qui donne

Considérons la droite génératrice dans une quelconque de ses positions : elle coupe chacune des trois courbes qui dirigent son mouvement en un point, par lequel concevons la tangente à cette directrice ; puis, par la droite génératrice et par chacune des trois tangentes, concevons un plan : on aura trois plans, qui seront tous trois tangents à la surface courbe, et pour chacun desquels le point de contact sera le même que celui de la directrice correspondante avec sa tangente. Cette surface est donc telle, que trois plans tansents différents peuvent se couper en une ligne droite qui passe par leurs trois points de contact, ou, ce qui revient au même, que, pour quelque point de contact que ce soit, le plan tangent peut changer deux fois de suite de position sans cesser de passer par le premier point de contact. Or, si l’on différentie deux fois de suite l'équation du plan tangent

Z—7 —=}p (x — 4) Ftig (Y—7"),

en regardant comme constantes les coordonnées x’, y’, z/, du point général du plan, ce qui donne

(x — x") dp + (y —7y") dg = 0, (x — x”) ddp + (y — y") ddq + dpdx + dqdy — 0,

on aura trois équations qui détermineront les coordonnées x”, y’,7!, du point commun aux trois plans tangents consécutifs ; et parce que les trois plans doivent passer par le premier point de contact, ces trois équations doivent avoir lieu en faisant x— x", y—7", z—7/,

ce qui donne la quatrième équation dpdx + dgdy — 0.

De plus, si de ces quatre équations on élimine les deux quantités ZX Y—Y

; , il restera les deux autres AU — 8 RTS

dp dx + dqdy = 0, ddp dx + ddq dy — 0,

qui ne peuvent subsister simultanément, à moins que la quantité

dy . . 4 A .

dx € soit constante, et qui peuvent, par consèquent, être mises

sous la forme suivante :

rdx® + 2sdxdy + tdy* — 0, udx* + Sudx* dy + 3adx dy* + vdy* = 0.

Enfin, de ces deux équations, l’une est destinée à donner la valeur de qui détermine la direction de la droite suivant laquelle se

coupent les trois plans tangents consécutifs; et si l’on élimine entre

faite pour que ces trois plans puissent se couper dans une même

elles , on aura une équation de condition qui devra être satis-

ligne droite, et qui sera, par conséquent, l’équation de la surface y . / d 4 demandée. Done, si l’on représente par & la valeur de a que

fournit l’une de ces équations, c’est-à-dire si l’on fait, pour abréger,

— FREE "Lt SEEN CRE

l'équation aux différences partielles du troisième ordre de la surface courbe généralement engendrée par le mouvement d’une ligne

droite sera

(A) L + JUQ ONE 0)

On peut arriver plus rapidement au même résultat, en considérant que le point de la surface peut se mouvoir dans le premier plan tangent, puis dans le second, et encore dans le troisième, sans cesser de se mouvoir en ligne droite; c’est-à-dire que ce point peut se mouvoir trois fois de suite, sans que les quantités

l ’ d l . , . 1 . Ve St changent de valeur. Donc, si l’on différentie deux fois dz? dz’ dx

de suite l'équation dz = pdx + qdy,

. , dx d dy en regardant comme constantes les trois quantités = 0 J sir 15 OIL Fe As Là

aura les deux équations dp dx + dqdy = 0, ddp dx + ddqdx = 0,

: à 21e MER Ve ly 7 :

qui, par l’élimination de 5 donneront l’équation (A).

Lorsque le point de la surface courbe se meut sans sortir de la droite génératrice considérée dans la même position, les trois quan-

HT LARR

… , dx dy dy ; L Te tités ©, 7, 7, dont deux quelconques déterminent la troisième, dz? dz’ dx

sont constantes ; et ces quantités varient lorsque le point passe sur la génératrice considérée dans la position suivante : ainsi, de ces trois quantités, deux quelconques sont fonctions de la troisième. Done, si l’on divise par dx l'équation

dz = pdx + qdy, ce qui donne

— 5 + V(s°— rt)

+, d puis si l’on met pour T sa valeur

» que nous contiax

; Re der u nuerons de représenter par &; et, enfin, si l’on fait Te égale à une

; RO: ly ; k fonction arbitraire de TL l'équation

(B) P + aq = La,

que l’on obtiendra, sera aux différences partielles du second ordre celle de la surface demandée.

Lt SRE À AL s Les quantités —, “T ne sont pas les seules qui soient constantes dz?’ dz

À dy sen , en même temps que # — &. Si l’on représente par Didi):

ONU d,

les équations de la génératrice considérée dans une position quelconque, dans lesquelles on aura

les deux autres quantités y, d sont aussi constantes en même temps que #, et par conséquent fonctions de &. Donc, en représentant ces

nouvelles fonctions par les caractères 4, 7, les deux équations

(D) 3 — (p+ aq) x = ra,

seront encore aux différences partielles secondes celles de la surface demandée. Les trois équations (B), (C), (D), dont chacune exprime complétement la génération de la surface, sont les trois intégrales premières de l’équation du troisième ordre (A), et chacune d’elles est complétée par une fonction arbitraire particulière.

Les trois équations (B), (G), (D) ne contiennent les coefficients différentiels du second ordre r, s, t, que parce que ces coefficients entrent dans la quantité &. Donc, si, combinant ces équations deux à deux, on en élimine la quantité #, regardée comme une indéterminée, ce qui peut se faire de trois manières différentes, on aura trois résultats qui ne contiendront que des différences partielles du premier ordre, et dont chacun exprimera la surface d’une manière complète. Ces trois résultats seront les intégrales secondes de l’équation (À), et chacune de ces intégrales sera complétée par deux des trois fonctions arbitraires ®, 4, 7.

Enfin, des quatre coefficients &, 8, y, d, qui entrent dans les équations de la droite génératrice, trois quelconques étant fonctions du quatrième, il s'ensuit que le résultat de l'élimination de l’indéterminée # entre les deux équations

J — ax — Va,

Zz — XQa— 7Ta,

est en quantités finies l’équation de la surface généralement engendrée par le mouvement d’une ligne droite. Ce résultat est l’intégrale finie de l'équation (A), complétée par les trois fonctions arbitraires ®, 4, x.

De la caractéristique sur les surfaces dont l'équation aux différences partielles est du troisième ordre.

La méthode que nous allons donner pour trouver l'équation de la caractéristique convient à tous les ordres, quoique, dans l’exposition que nous allons en faire, elle ne soit appliquée qu’au troisième. SOIt

(G) RSR rs Um iv] = 0

une équation quelconque aux différences partielles du troisième ordre; si dans cette équation on élimine trois quelconques des quatre différences partielles supérieures u, 4, w, v, au moyen des trois équations

dr — udx + wdy,

dt — wdx + vdy;

udx + wdy,

par exemple, si l’on élimine les trois dernières #7, w, », on aura une équation aux différences ordinaires

Er y 2 piq:r;s,t, dt} dy, dr, ds, dt,u|—0,

à laquelle satisferont les équations particulières de toutes les surfaces individuelles soumises à la génération exprimée par l’équation (G). Quelle que soit donc une de ces surfaces individuelles, son équation particulière pourra toujours être mise sous la forme (H), et les équations des différentes surfaces individuelles, mises

sous cette forme, ne différeront entre elles que par la quantité w, qui, dans chacune d’elles, sera différemment composée des quantités æ,y,z. Ainsi, en considérant une des surfaces soumises à la génération exprimée par (G), etson équation étant mise sous la forme (H), si l’on suppose qu’une quelconque des trois courbes arbitraires qui dirigent le mouvement de la génératrice vienne à éprouver une variation infiniment pette, l'équation (H) n’éprouvera d'autre changement, sinon que la quantité w changera de valeur et deviendra w’;.et les deux surfaces qui correspondent à ces deux valeurs successives de & se couperont en une courbe, pour les points de laquelle les quantités +, y, z,p, q,r,s,t, et leurs difiérences ordinaires dx, dy, dz, dp, dq, dr, ds, dt auront les mêmes valeurs, soit que l’on considère cette courbe sur la première surface, soit qu'on la considère sur la seconde. Cette courbe, qui est constante, et pour les points de laquelle les différences partielles des ordres inférieurs, ainsi que leurs différences ordinaires, ne changent pas lorsqu'une des directrices éprouve une variation, est donc indépendante de ce qu’il y a de particulier dans cette directnice ; elle est donc la courbe à laquelle nous avons donné le nom de caractéristique, et il est évident qu’en général il peut y em avoir pour le même point autant qu'il y a de directrices arbitraires dans la génération, et par conséquent autant qu'il y a d'unités dans l’ordre de l’équation (G). Done, si l’on différentie l'équation (H) en regardant 4 comme seule variable, l'équation

(J) Ée —]=0,

que l’on obtiendra, appartiendra à la caractéristique. Or il est évident que, sans effectuer l’équation (H), on arrivera à un résultat équivalent, si, après avoir différentié l'équation (G), en regardant comme seules variables les différences partielles w,wu,w,v, de

Macs

l’ordre supérieur, ce qui produira une équation de la forme Udu + y + Wdw Vdo — 0,

on substitue pour du, dw, dv, les valeurs que l’on trouve en ditférentiant dans la même hypothèse les valeurs de dr, ds, dt, qui doivent aussi être constantes. Mais cette dernière différentiation

donne

dudx + dudy = 0, dudx + dwdy —0, dwdx + d&dy —o,

et, par conséquent,

diu Rs dy du, dx°

dx — FU dx

dv un PLU

Donc, par la substitution, on trouvera, pour l'équation générale de

la caractéristique, (K) Udy® — mdr dx + Wdydx? — Vadx' — 0.

Il est facile de reconnaître la loi d’après laquelle on formera l’équation de la caractéristique pour un ordre quelconque.

x : en CARTE ve dy L'équation (K) de la caractéristique est, par rapport à LA

d'un degré algébrique aussi élevé que l’ordre de la proposée (G). Lorsque tous les facteurs de cette équation algébrique sont rationnels, il y a pour le même point autant de caractéristiques indépendantes que de facteurs, et chacune d'elles correspond à celle des