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courbes arbitraires qui la produit par sa variation. Si quelques-uns de ces facteurs sont égaux entre eux, les caractéristiques correspondantes coïncident en une seule ; mais, en général, les facteurs de l'équation (K)) sont irrationnels : alors les caractéristiques, dont le nombre est toujours égal au degré algébrique de l’équation (K), n'ont plus d'équations distinctes ; elles ont une équation intégrale commune du même degré algébrique, par rapport à la constante arbitraire, que l'équation (K); et si l’on déterminait cette constante de manière que la courbe passât par un point donné de la surface, il viendrait pour cette constante des valeurs différentes, dont chacune conviendrait à une caractéristique particulière.

VIT

Si l'équation aux différences partielles (G) est linéaire par rapport aux différences partielles de l’ordre supérieur, l'équation (H) sera aussi linéaire par rapport à la différentielle partielle restante; et, en supposant que cette différentielle partielle soit w, l'équation (H) sera de la forme

.M—+ Nu = 0,

dans laquelle M et N, qui peuvent être fonctions de x, y,z,p, q, r,s,t, dx, dy, dr, ds, dt, ne contiennent point w. Lors donc que l’on différentiera cette dernière équation en regardant &# comme seule variable pour avoir l'équation (J), on aura pour équation de la caractéristique N — 0 ; et parce que cette courbe est elle-même sur la surface courbe, et que l’équation

M + Nu —o

a aussi lieu pour elle, il s'ensuit que l’on aura encore M — 0. Donc on aura pour la caractéristique les deux équations aux différences ordinaires

qui seront toutes deux délivrées de la quantité w, et qui seront, par conséquent, indépendantes de tout ce qu'il y a de particulier dans les courbes arbitraires qui dirigent la génératrice. Il suit de là que si l’on intègre ces deux équations, soit directement, soit au moyen des autres équations aux différences ordinaires

dz = pdx + qdy, dp = rdx + sdy, dg = sdx + tdy,

ce qui produira deux équations intégrales Ne +4. Ve

dans lesquelles 4 et 8 sont les constantes arbitraires introduites par l'intégration, et où X et Y sont des fonctions connues de æ, y, z, p;q»r,;s,t; les deux arbitraires «, 5 seront toutes deux constantes pour la même caractéristique, et elles varieront toutes deux lorsque l’on passera d’une caractéristique à une autre infiniment voisine : ces deux arbitraires seront donc fonctions l’une de l’autre, et l’on aura pour équation de la caractéristique

NO qu;

a étant l'arbitraire unique qui détermine la position de cette courbe. Or la surface courbe peut être regardée comme le lieu de toutes les caractéristiques successives que l’on obtiendrait en donnant successivement à # toutes les valeurs possibles. Donc on aura l’équation de cette surface en éliminant # entre les deux équations intéorales ; ce qui donnera, pour une des intégrales premières,

Mi EX.

22 ET 2 VTT

On trouvera pour la caractéristique deux équations aux diffé-

rences ordinaires, telles que MoN

non-seulement lorsque la proposée (G) sera linéaire par rapport aux différences partielles de l’ordre le plus élevé 4, 41, w, v; mais encore lorsque les trois quantités ww — w?, up — uw, 10 — w° y entreront elles-mêmes linéaires; car il est facile de vérifier que si l’on chasse de chacune de ces quantités trois des différentielles partielles w, «, w, v, la quatrième se trouve linéaire. L’équation (H) se trouvera donc encore linéaire par rapport à , et lorsqu'on la différentiera en regardant & comme seule variable, on aura deux équations M— O, N::=0:

Pour les ordres supérieurs, la caractéristique aura de même deux équations aux différences ordinaires, non-seulement lorsque l’équation aux différences partielles sera linéaire par rapport aux différences de l’ordre le plus élevé, mais encore lorsqu'elle le sera par rapport à toutes les quantités de la forme suivante :

d"z d"z d'z d'z re) Vera) = a) ras’

pourvu que dans chacune des quantités de cette forme on ait g+h=k+m;

car, en chassant de ces quantités toutes les différences partielles, excepté une, cette dernière se trouve linéaire.

Dans tous les autres cas, l'équation (H) ne sera pas linéaire par rapport à w; par conséquent l'équation (J), qui est sa différentielle

prise en ne faisant varier que &, ne sera pas délivrée de #. Cette équation ne sera donc pas indépendante de la courbe arbitraire dont la variation doit produire la caractéristique. L'on ne pourra faire disparaître qu'en éliminant entre les deux équations (H), (J), ce qui produira pour la caractéristique une équation unique aux différences ordinaires. Cette équation unique, qui résultera de l’élimination d’une quantité élevée, sera elle-même élevée, et ne satisfera pas à l’équation connue sous le nom de condition d’intégrabilité, condition qui n’est autre que celle d’appartenir à une surface courbe; mais cette équation n’en exprimera pas la caractéristique d'une manière moins complète, et l’intégration dont elle est susceptble ne conduira pas moins à l'intégrale de l'équation (G). La manière de traiter les équations de ce genre ouvre une nouvelle branche de calcul intégral, dont nous donnerons quelques exemples en traitant de la génération des courbes à double courbure, ce que nous ferons incessamment, après avoir terminé ce que nous nous proposons de dire sur la génération des surfaces.

Nous allons appliquer les résultats que nous venons de trouver, à l'intégration de l’équation de la surface généralement engendrée par le mouvement d’une ligne droite.

AS

Si l’on différentie l'équation (A) en regardant w, «41, w, comme seules variables, on trouve ÜU = 1, y — 3%, W = 50°, V— «”; et, substituant ces valeurs dans (K), on a, pour première équation de la caractéristique,

dy — 3wdy* dx + 30° dy dx” — w°dx* — 0.

Or cette équation est un cube parfait; done, pour la surface dont il

s’agit, les trois caractéristiques coincident et se confondent en une

seule courbe, qui a pour une de ses équations,

dy — wdx — O,

—s+ Vs? —T [A

. js 'E (A LL ou, substituant pour « la quantité qu’elle représente,

(E) rdx? + 2sdx dy + tdy* = o.

Au moyen de cette équation, et chassant de (A) les quantités 4, 1, w, v, on trouve, pour la seconde équation de la caractéristique,

(F) dr dx? + 2dsdxdy + dtdy® — 0.

Des deux équations (E), (F) de la caractéristique, la seconde nes s« . d est la différentielle de la première prise en regardant =7 comme

dx 7 AY constante; la quantité dx’ OU Sa valeur

— $ + Vs —7rt = 2 té

que, pour abréger, nous continuerons de représenter par 4, est donc constante dans toute l'étendue de la même caractéristique. Aïnsi, pour cette courbe, à la place des deux équations (E), (F), on peut employer l'équation (E) et la suivante

dy — Ait ;

qui remplacera l’intégrale de (F), et dans laquelle « tiendra lieu d'une constante introduite par intégration. Mais l'équation (E) peut être mise sous la forme

dpdx + dq dy = 0, ou dp + adg = 0;

de plus, chassant dy de dz — pdx + qdy, on a dz — (p + aq) dx — 0.

in Donc, pour la caractéristique, on a aux différences ordinaires les trois équations suivantes, dont deux comportent la troisième dp + adq = 0, dy AUX — O, dz — (p + aq) dx = 0.

Les intégrales de ces trois équations, prises en regardant comme constante la quantité # qui ne varie pas dans la mème caractéristique, seront complétées chacune par une arbitraire qui sera aussi

constante pour la même caractéristique, et quisera, par conséquent,

une fonction arbitraire de «. Ainsi, en faisant, pour abréger,

—s+ Vs —7rt a

les trois intégrales de l’équation (A) seront P + aq = Qu, Y — ax — x, z — (p + aq) x = ra.

Enfin, en opérant sur ces trois équations comme nous avons fait dans les articles IIT et IV, on trouve les trois intégrales secondes et l'intégrale finie.

Trois courbes a double courbure étant données dans l’espace, trouver l'équation de la surface engendrée par le mouvement d'une droite constamment appuyée sur ces trois courbes.

Les équations intégrales de la surface Zz — AQU — 74

Y—ax — 1x

NIDOT

devant avoir lieu en même temps que celle de chacune des trois courbes données, il s'ensuit que si entre ces deux équations et celles de la première courbe on élimine x, y,z, on aura en «, ®x, Ja, ra, une première équation; opérant de même sur les deux autres courbes, on aura deux autres équations en «, Qu, da, ra; tirant de ces trois équations les valeurs de 9, d, 7, les formes de chacune de ces fonctions seront déterminées. Mais, sans effectuer cette dernière opération qui suppose la résolution des équations, si entre ces trois équations et les deux équations intégrales on élimine les quatre quantités &, @aæ, da et 74, on aura en æ, y, z, l’é-

quation de la surface demandée.

SACNIT.

DE LA SURFACE COURBE QUI ENVELOPPE UNE SUITE DE SPHÈRES VARIABLES DE RAYON, ET DONT LES CENTRES SONT DISTRIBUÉS SUR UNE COURBE QUELCONQUE.

En considérant une quelconque des sphères enveloppées, il est facile de reconnaître que, pour cette sphère, le rayon et les trois coordonnées du centre seront constants ; mais si l’on passe de cette première sphère à une autre, c’est-à-dire si l’on suppose que le rayon varie, la position du centre, et par conséquent les trois coordonnées qui déterminent sa position, varient aussi. Il suit de là que de ces quatre quantités, si une seule est constante ou variable, les trois autres sont de même constantes ou variables : ainsi trois d’entre elles sont des fonctions différentes de la quatrième. La forme de ces fonctions dépend de la nature de la courbe sur la-

quelle le centre doit être placé, et de la relation établie entre le rayon et la position du centre; et si l’on veut obtenir des résultats qui soient indépendants de cette relation et de la nature de la courbe, ces fonctions doivent être regardées comme arbitraires. Donc, en nommant z le rayon de la sphère, les coordonnées du centre seront ga, dx, ra, et l'équation de la surface de cette sphère sera

(A) (ea) + (7 da) + (era) = 0°; l'enveloppe devant toucher deux sphères consécutives, les points de la surface de la sphère qui appartiendront aussi à l’enveloppe seront ceux qui ne changeront pas lorsque la sphère changera, c’est-à-dire lorsque le rayon 4 et les trois fonctions ®, À, 7, qui en dépendent, éprouveront une variation. Done, si l’on différentie l’équation de la sphère en regardant 4 comme seule variable, ce qui donnera