RE E
Les normales à la surface, menées par deux points consécutifs de la ligne de contact avec la même sphère, passent par le centre :
done le rayon de la sphère, que nous avons jusqu'ici représenté par +, est un des deux rayons de courbure de la surface enveloppée. Or nous avons vu ($ XV) que l'expression du rayon de courbure est la valeur de R tirée de l'équation
(d) k' +AR|(: +q)r—2pqs+(1+p") {| + (rés )R°?— o.
Donc, si dans les trois équations (C), (D), (E) on substitue pour x
cette valeur de R, les trois nouvelles équations (F) (x —@R}4 + pR= 0, (G) (y7— ÉR) 4 + gR = 0, (H) ( —7R)4— R—o
seront, aux différences secondes, celles de la surface demandée. Chacune de ces équations contient encore une fonction arbitraire, et exprime seule toutes les surfaces soumises à la même génération.
Toutes les normales à la surface menées par les points de sa ligne de contact avec la même sphère, passant par le centre de cette sphère, il s'ensuit, 1° que cette ligne de contact est une des lignes de courbure de la surface enveloppe; 2° que, pour toute une ligne de courbure, le rayon de courbure est constant. Or nous avons vu ($ XV) que l'équation de la ligne de courbure est
l 2 9 d 2\. 2 2 Ce) DLC-+g)s— pal + C++ p) La p)s—pgrl = 0.
Donc, en posant cette dernière équation, on doit avoir
dR => 0 À
+. ’ d EE 7 7 . - Si donc on représente par la valeur de 2 tirée de léquation (e),
= Mh Eee
il faut qu’on ait en même temps dy dR dR nm a DER
dy
quelle que soit la valeur de eh donc, éliminant ce rapport, l’équa-
tion aux différences partielles du troisième ordre de la surface demandée pourra être mise sous la forme abrégée
; dR CARRE
( ) re —+ © dy 4
qu'on obtiendrait également en différentiant chacune des équations
(F), (G), (H), de manière à faire disparaître la fonction arbitraire
qu'elle renferme. Enfin, développant cette équation, et faisant,
pour abréger, | (G+p')kf+<Rr= A (1+g*)r — 2pqgs +(1+p')t=M
pqgk + Rs = B Pb STD UN
(+ g*)k+Rt—=C
ce qui donne, en vertu de (d), ACER 0;
on aura, pour la surface demandée, l’équation linéaire aux différences troisièmes
Cu + (Cw— 2B)0 + (A—2B>)wAwy HN (p + wq) D + (a) (BI de
Etant donnée l’équation linéaire aux troisièmes différences que l’on vient de trouver, si l’on se propose de déterminer la caractéristique de la surface à laquelle elle appartient, en opérant comme
pri
Oie
on l’a vu dans le paragraphe précédent, on trouve pour équation de cette courbe,
(K) CGdy* + (2B —Co) dy° dx + (A—2Bo) dy dx? —Awdx° —0,
qui est évidemment composée de deux facteurs, et donne les deux équations suivantes :
(L) dy — œdx — 0, (M) Cdy* + 2Bdxdy + Adx? — 0.
Le premier de ces facteurs n'étant autre chose que l'équation (e) ci-dessus, il s'ensuit qu'une des caractéristiques, si toutefois elles sont différentes entre elles, est une des lignes de la courbure de la surface. Le second facteur, parce que l’on a AC — B?, est un carré parfait dont les deux racines égales peuvent être exprimées indifféremment par l’une des deux équations suivantes :
Adzx + Bdy — 0, Bdx + Cdy — 0,
qui, en remettant pour À, B, C, leurs valeurs, deviennent (N) k (dx + pdz) + Rdp — 0, (O) k(dy + qgdz) + Rdgqg — 0,
et, par l’élimination de R, donnent dg (dx + pdz) — dp (dy + qgdz) = 0.
Or, si l’on développe cette dernière équation, qui tient lieu de chacun des deux facteurs égaux de l’équation (M), on retrouve encore l’équation (e) ; ce qui est facile à vérifier. Donc les trois facteurs de l'équation de la caractéristique appartiennent à la même courbe. Ainsi, pour chacun de ses points, la surface que nous considérons
n’a qu'une seule caractéristique, qui est une de ses deux lignes de OL
courbure, et dont l'équation peut indifféremment être mise sous l’une des trois formes (L), (N), (0). Il suit aussi de là que les trois fonctions arbitraires qui compléteront l’intégrale complète de la
proposée seront composées d'une même quantité.
Te
La caractéristique devant se trouver sur la surface, elle sera exprimée par l’équation.de la surface et par une quelconque des trois équations (L), (N), (0): Posons d’abord que ce soit par l'équation
(L), et prenons la proposée sous la forme (1), les deux équations de la caractéristique seront donc
dR LEONE (a +e(%) Fe dy — wdx = 0,
qui, par l'élimination de », donnent
dR dR (R)æ+ (gr ;) = 0 où dR — 0;
d’où il faut conclure que, dans la surface que nous considérons, pour une des lignes de courbure, le rayon de cette courbure est constant. Actuellement, si des deux équations (N), (O), et de dz = pdx + qdy, qui appartiennent toutes trois à la caractéristique, on tire les valeurs de dx, dy, dz, ce qui donne
dx + RdF— 0, dy + RdT =, dz —Rd;=—0,
les équations de la caractéristique seront indifféremment l’un des trois systèmes suivants de deux équations
LRE==10) T'REE07 -dR — 0,
dx +RdF—0, dj +Rd£—=o, d— Rd += 0
