STE
Or, dans chacun de ces systèmes, en vertu de la première équation, la seconde est une différentielle complète : donc l'intégrale première de la proposée est indifféremment l’une des trois équations
F— r+RT=AR, Pire R-—7R.
Si, à la place de R, on substitue sa valeur tirée de l'équation (d), il est évident que chacune de ces trois intégrales sera aux différences partielles secondes, et complétée par une fonction arbitraire particulière.
VIT
Les trois intégrales premières que nous venons de trouver ne contiennent de différences secondes que celles qui entrent dans la valeur de R ; donc, si en combinant ces équations deux à deux, ce qui peut se faire de trois manières différentes, on élimine entre elles la quantité R, les trois résultats, qui ne contiendront plus que des différences premières, et dont chacun renfermera deux fonctions arbitraires, seront les trois intégrales secondes ; mais, la quantité R devant être éliminée, sa valeur est indifférente, et à sa place on peut mettre une indéterminée quelconque #. De plus, cette quantité se trouvant sous les fonctions arbitraires, l’élimination dont il s’agit ne peut être qu’indiquée : donc les trois intégrales secondes de la proposée sont les résultats de l’élimmation de # entre deux
- quelconques des trois équations suivantes : (x — Qu) k —— ap, (7 — da) k£ =— 49,
(z — ra) k — «.
ie
Enfin, éliminant p et q entre les trois équations précédentes et dz = pdx + qdy, on aura deux équations délivrées de toutes différences partielles, et qu’on peut obtenir facilement de la manière suivante. Carrant les trois équations et ajoutant, on a d’abord
(x — qu) + (Y — Na) +(c— 7e) = a’; puis multipliant la première par dx, la seconde par dy, ajoutant et chassant # au moyen de la troisième, on trouve
(x — qu) dx + (y — da) dy + (z — ra) dz — 0.
Or cette dernière équation étant la différentielle de la précédente, prise en regardant 4 comme constante, ne peut avoir lieu conjointement avec la précédente, à moins que la différentielle de celle-ci,
prise en regardant « comme seule variable, n’ait lieu. Done, à la place de ces deux équations, on aura les deux suivantes :
(@— 92) + (y — da) + (c — ra) =», (@—gP+(r —dd+(G—7)7=—2,
qui, étant délivrées de toutes différentielles, et comprenant trois fonctions arbitraires, seront l'intégrale complète de la proposée. Es P RQ
