XXIII

DE LA SURFACE COURBE DONT TOUTES LES NORMALES SONT TANGENTES A LA SURFACE D’UNE MÈME SPHÈRE.

Génération de la surface.

Si, considérant les normales d’une surface courbe en général, on se propose de passer d’une quelconque de ces normales à une autre

infiniment voisine, et qui soit dans le même plan que la premiere, on sait, par les propriétés des lignes de courbure, que ce passage peut toujours se faire de deux manières différentes, ce qui détermine deux nouvelles normales, et que les deux plans menés par la première normale et les deux autres sont rectangulaires entre eux.

Concevons la surface qui est touchée par toutes les normales, surface qui n’est autre chose que l'enveloppe ou la limite de l’espace qu’elles occupent toutes ; puis considérons une normale quelconque, avec les deux autres normales infiniment voisines de la première, et dont chacune est dans un même plan avec elle : cela posé, si la première normale et une des deux autres ne se rencontrent pas dans un des points de la surface touchée, le plan déterminé par les deux normales sera tangent à cette dernière surface, puisqu'il passera par deux tangentes infiniment voisines, et le second plan déterminé par la troisième normale sera perpendiculaire à la surface touchée dans le point de contact de cette surface avec le premier plan.

Il suit de là, 1° que la première et la troisième normale seront les tangentes consécutives d’une même courbe tracée sur la surface touchée ; 2° que ces deux droites se rencontreront en un des points de cette surface, qui sera, par conséquent, le lieu des centres d’une des courbures de la surface proposée ; 3° que la courbe touchée par la suite des normales qui se coupent ainsi consécutivement sera le lieu des centres de courbure des points de la surface qui sont sur une même ligne de courbure; 4° que tous les plans osculateurs de cette courbe seront normaux à la surface des centres ; que, par conséquent, cette courbe sera, sur la surface des centres, la plus courte que l’on puisse mener entre ses extrémités; 5° enfin, que la ligne de courbure dont elle contient les centres sera sa développante; en sorte que la partie de la normale comprise entre la

LARE Que

surface proposée et celle des centres sera égale à l'are rectifié de cette courbe.

Passant au cas particulier, qui est l’objet que nous traitons, et pour lequel la surface touchée par toutes Îles normales est celle d’une sphère, on voit que la surface de la sphère est le lieu des centres d’une des courbures de la surface proposée ; que la courbe touchée par la suite des normales qui se coupent successivement sur la sphère, étant la ligne la plus courte sur cette surface, est la circonférence d’un grand cercle; que, sur la proposée, la ligne de courbure, dont la circonférence de ce cercle contient les centres, est une courbe plane, et que cette courbe est la spirale développante de ce grand cercle.

Actuellement, soient sur la surface proposée deux de ces lignes de courbure consécutives : comme leurs plans passent tous deux par le centre de la sphère, ils se couperont en une droite qui passera aussi par le centre. De plus, si, sur la zone comprise entre ces deux plans, on conçoit les éléments de toutes les lignes de l’autre courbure, ces éléments, qui doivent être perpendiculaires aux lignes de la première courbure, seront perpendiculaires à leurs plans. Donc la zone pourra être regardée comme un fuseau infiniment étroit de la surface de révolution engendrée par le mouvement de la première des lignes de courbure autour de la droite d’intersection des deux plans, et cet axe momentané de révolution sera le lieu des centres de l’autre courbure pour tous les points de la zone à laquelle il correspond.

Si donc on conçoit la suite de toutes les courbes planes de la première courbure, leurs plans se couperont consécutivement dans des droites qui passeront toutes par le centre de la sphère; ces droites seront, par conséquent, sur une surface conique dont le sommet sera au centre de la sphère, et à laquelle tous les plans des lignes de première courbure seront tangents. Done, si l’un de ces

plans roule autour de la surface conique, à chaque instant du mouvement il tournera autour de la droite de son intersection avec le plan suivant, et la ligne de courbure qu’il contient coïncidera successivement avec toutes les autres. De là se déduit la génération suivante.

Après avoir tracé sur un plan, 1° un cercle d’un rayon égal à celui de la sphère; 2° une spirale développante de ce cercle, et après avoir mis ce plan en contact avec une surface conique à base quelconque, de manière que le centre du cercle soit au sommet du cône, si l’on conçoit que le plan roule autour de la surface conique, le centre du cercle ne quittera pas le sommet du cône ; la circonférence engendrera la surface de la sphère dont le centre sera au sommet du cône, et la spirale engendrera la surface proposée. En effet, cette surface n’aura aucune normale qui ne soit aussi normale à la spirale génératrice dans le plan de laquelle elle se trouve, qui ne soit, par conséquent, tangente au cercle dont cette spirale est la développante, et qui ne soit enfin tangente à la surface de la sphère dont ce cercle est générateur.

La proposée n’a aucune normale par laquelle ne passe le plan générateur dans un instant de son mouvement; or, pendant tout le mouvement, ce plan ne cesse d’être tangent à la surface conique : donc il n’y a aucune normale qui ne touche la surface conique, surface qui est le lieu des centres de la seconde courbure, comme celle de la sphère est celui des centres de la première.

La courbe que parcourt chaque point de la spirale génératrice est constamment perpendiculaire à cette spirale, elle est donc une ligne de l’autre courbure; mais le point décrivant ne change pas de distance au sommet du cône : donc chaque ligne de la seconde courbure est sur la surface d’une sphère dont le centre est au som- met du cône, et dont le rayon, constant pour chacune d’elles en

particulier, est variable de l’une à l’autre.

Des arétes de rebroussement de la surface.

La spirale développante du cercle a, comme on sait, un point de rebroussement placé sur la circonférence du cercle développé; ce point peut être considéré comme l’origine du développement, et la courbe, par rapport à lui, s'étend de part et d'autre d’une manière symétrique. Lors donc que le plan de la spirale roule autour de la surface conique, il est évident que ce point doit engendrer une arête de rebroussement, et que cette arète est tout entière sur la surface de la sphère touchée par toutes les normales. Ainsi, toutes les nappes de la surface ne peuvent se prolonger vers le centre que jusqu'à ce qu’elles rencontrent la surface de la sphère dans l’arète de rebroussement; là elles se réfléchissent, en sorte qu'’aucune d'elles ne pénètre dans l’intérieur de la sphère. La surface de la sphère étant le lieu des centres d’une des courbures de la surface engendrée, il s’ensuit que, pour tous les points de cette première arête de rebroussement, un des rayons de courbure de la surface est nul.

Indépendamment de cette première arête de rebroussement, la surface en a encore une autre. $

En effet, si l’on considère la génératrice dans deux positions consécutives, les deux plans qui conviennent à ces deux positions se coupent dans une droite qui se trouve sur la surface conique, à laquelle ils sont tous deux tangents, et les deux courbes se coupent en un point de cette droite, point qui est, par conséquent, sur la surface conique. Le lieu de tous les points déterminés de cette manière sur la surface conique est une courbe perpétuellement touchée par la génératrice dans tous les instants de son mouvement ; et il est évident qu'elle est une arête de rebroussement, car chaque partie de la génératrice s'approche d’abord de la surface conique jusqu'à ce qu’elle l'ait touchée dans cette courbe à laquelle elle est