A) (TR

Avant de quitter cet objet, il convient d'examiner les deux équations que nous venons de trouver, et qui vont nous conduire à une nouvelle génération de la surface.

De ces deux équations, l’une étant la différentielle de l’autre, prise en regardant un certain paramètre « comme seule variable, il suit que la surface engendrée est l'enveloppe ou la limite de l’espace que parcourt une autre surface en vertu de la variation de ce paramètre.

La première de ces équations N — o, c’est-à-dire celle de la surface mobile, en regardant 4 comme constant, appartient à une surface de révolution autour de l’axe, dont les équations sont

TZ = az, — @z; Car on sait que l'équation de cette surface de révolution est

AaX + OY + z 2 2 SE = (y a),

ou, en conservant les abréviations ci-dessus, M = NU;

et il est évident que l'équation N — o est de cette forme. De plus, nous n'avons trouvé cette équation qu’en transportant dans le plan du méridien de la surface de révolution, la spirale génératrice. Ainsi, la surface mobile résulte de la révolution de la spirale autour de l’axe, dont les équations sont 4 — az, y — @z.

La seconde équation, c’est-à-dire l’équation (A), ainsi qu'il est facile de le vérifier, est celle d’un plan normal à la surface conique, dont l’équation résulte de l’élimination de « entre les deux suivantes x — «3, ÿ —@z, ce plan normal devant d’ailleurs passer par le sommet qui est à l’origine : elle est donc celle du méridien dans lequel se coupent deux surfaces de révolution consécutives,

— 266 lorsque l’axe se meut de manière à parcourir la surface conique. De là suit une nouvelle génération de la surface.

Si, après avoir mené dans le plan d’une spirale développante d’un cerele, et par le centre du cercle, une droite quelconque, on fait tourner la spirale autour de cette droite pour engendrer une surface de révolution, et si ensuite on fait mouvoir cette surface de manière que son axe, sans cesser de passer par le même centre, parcoure une surface conique quelconque, dont le sommet sera, par conséquent, au centre du cercle, l'enveloppe de l’espace que parcourra la surface mobile sera la surface générale, dont toutes les normales seront tangentes à la sphère engendrée par la rotation du cercle dont la spirale est la développante.

Des équations en quantités firues des deux arétes de rebroussement.

Nous avons vu que la surface engendrée a deux arêtes de rebroussement, dont l’une est sur la surface de la sphère, et dont l’autre est sur la surface conique perpétuellement touchée par le plan de la spirale.

Pour la première de ces courbes, l'équation de la sphère doit avoir lieu, c’est-à-dire que l’on doit avoir U — 0. Or, si l’on introduit cette équation dans N — 0, c’est-à-dire dans